1 個のさいころを n 回投げて，k 回目に出た目を a_k とする。b_n を b_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_1^{n-k}a_k により定義し，b_n が 7 の倍数となる確率を p_n とする。
(1) p_1，p_2 を求めよ。
(2) 数列 \{p_n\} の一般項を求めよ。
b_1 = a_1^0a_1 = a_1 で、1 から 6 の目はどれも 7 の倍数ではありません。p_1 = 0。
b_2 = a_1^1a_1 + a_1^0a_2 = a_1^2 + a_2 です。a_1 = 1,\ 2,\ \cdots,\ 6 のとき、a_1^2 を 7 で割った余りは順に 1、4、2、2、4、1 になる。
b_2 が 7 の倍数になる a_2 は、7 から余りを引いた 6、3、5、5、3、6 で、どの a_1 にも 1 つずつあります。
36 通りのうち 6 通りだから、p_2 = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}。
b_{n+1} の和から k = n + 1 の項 a_{n+1} を分けると、残りは b_n の各項に a_1 をかけたものです。
\begin{aligned}b_{n+1} &= \sum_{k=1}^{n}a_1^{n+1-k}a_k + a_{n+1} \\ &= a_1b_n + a_{n+1}\end{aligned}
b_n が 7 の倍数なら a_1b_n も 7 の倍数で、1 から 6 の a_{n+1} を足しても 7 の倍数にはならない。
b_n が 7 の倍数でないとき、a_1 も 7 の倍数でなく、7 は素数だから a_1b_n も 7 の倍数ではありません。
a_1b_n を 7 で割った余りを r とすると 1 \leqq r \leqq 6 で、b_{n+1} が 7 の倍数になるのは a_{n+1} = 7 - r のときだけ。
a_{n+1} は 1 回目から n 回目の目と関係なく決まるため、その確率は \dfrac{1}{6} です。b_n が 7 の倍数でない確率 1 - p_n にかけると、次の漸化式になる。
p_{n+1} = \dfrac{1}{6}(1 - p_n)
p_{n+1} = \dfrac{1}{6}(1 - p_n) の両辺から \dfrac{1}{7} を引くと、右辺は p_n - \dfrac{1}{7} の -\dfrac{1}{6} 倍になる。
p_{n+1} - \dfrac{1}{7} = -\dfrac{1}{6}\left(p_n - \dfrac{1}{7}\right)
p_n - \dfrac{1}{7} は初項 p_1 - \dfrac{1}{7} = -\dfrac{1}{7}、公比 -\dfrac{1}{6} の等比数列です。
p_n = \dfrac{1}{7}\left\{1 - \left(-\dfrac{1}{6}\right)^{n-1}\right\}
n = 2 では \dfrac{1}{7} \cdot \dfrac{7}{6} = \dfrac{1}{6} となり、(1) の値と一致します。
\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{n-1} の符号は n が 1 増えるごとにいれかわるため、p_n は \dfrac{1}{7} の上と下に交互に並びながら \dfrac{1}{7} に近づく。