n を自然数とする。1 個のさいころを n 回投げ，出た目を順に X_1，X_2，\ldots，X_n とし，n 個の数の積 X_1X_2\cdots X_n を Y とする。
(1) Y が 5 で割り切れる確率を求めよ。
(2) Y が 15 で割り切れる確率を求めよ。
さいころの目のうち 5 の倍数は 5 だけです。5 は素数だから、Y が 5 で割り切れるのは X_1、\ldots、X_n に 5 を 1 つ以上含むときになる。
余事象は「n 回とも 5 以外の目」で、その確率は \left(\dfrac{5}{6}\right)^n。求める確率は次のとおりです。
1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^n
図は n = 2 のときの 36 通りで、塗った 11 マスが 5 を含む組です。余事象の 5 \times 5 = 25 マスを 36 から引いた数と一致する。
15 = 3 \cdot 5 で、3 と 5 はどちらも素数です。Y が 15 で割り切れるのは、3 でも 5 でも割り切れるとき。
目でいえば、3 か 6 の目を 1 回以上含み、5 の目も 1 回以上含むときになる。
事象 A を「5 の目が 1 回も出ない」、事象 B を「3 の目も 6 の目も 1 回も出ない」とおく。求める確率は 1 - P(A \cup B) です。
毎回の目は、A では 5 以外の 5 通り、B では 1、2、4、5 の 4 通り、A \cap B では 1、2、4 の 3 通りです。
P(A \cup B) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^n + \left(\dfrac{4}{6}\right)^n - \left(\dfrac{3}{6}\right)^n
求める確率は 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^n - \left(\dfrac{2}{3}\right)^n + \left(\dfrac{1}{2}\right)^n になる。
n = 1 を代入すると 1 - \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = 0 で、目が 1 つでは 15 で割り切れないことと合う。n = 2 では \dfrac{4}{36} となり、図で数えた 4 マスと同じです。