xyz 空間において，点 \mathrm{P}_1(3, -1, 1) を中心とし半径が \sqrt{5} の球面 S_1 と，点 \mathrm{P}_2(5, 0, -1) を中心とし半径が \sqrt{2} の球面 S_2 を考える。
(1) 線分 \mathrm{P}_1\mathrm{P}_2 の長さを求めよ。
(2) S_1 と S_2 が交わりをもつことを示せ。この交わりは円となる。この円を C とし，その中心を \mathrm{P}_3 とする。C の半径および中心 \mathrm{P}_3 の座標を求めよ。
(3) (2)の円 C に対し，C を含む平面を H とする。xy 平面と H の両方に平行で，大きさが 1 のベクトルをすべて求めよ。
(4) 点 \mathrm{Q} が(2)の円 C 上を動くとき，\mathrm{Q} と xy 平面の距離 d の最大値を求めよ。また，d の最大値を与える点 \mathrm{Q} の座標を求めよ。
\mathrm{P}_1 から \mathrm{P}_2 へ向かうベクトルの成分は (5 - 3, 0 - (-1), -1 - 1) = (2, 1, -2)。(1) の答えはこの大きさです。
\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2 = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3
2 つの球面が交わりをもつのは、中心どうしの距離が半径の差以上、半径の和以下のときです。\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2 = 3 を \sqrt{5} - \sqrt{2}、\sqrt{5} + \sqrt{2} と比べる。
\sqrt{5} < 3 だから \sqrt{5} - \sqrt{2} < 3。
(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{10} > 9 だから \sqrt{5} + \sqrt{2} > 3。
\sqrt{5} - \sqrt{2} < 3 < \sqrt{5} + \sqrt{2} となり、S_1 と S_2 は交わりをもちます。
円 C の中心 \mathrm{P}_3 は直線 \mathrm{P}_1\mathrm{P}_2 上にある。\mathrm{P}_1\mathrm{P}_3 を h、C の半径を \rho とおき、C 上の点 \mathrm{X} と \mathrm{P}_1、\mathrm{P}_2 を結ぶ 2 つの直角三角形に三平方の定理を使います。
h^2 + \rho^2 = 5
(3 - h)^2 + \rho^2 = 2
上の式から下の式を引くと 6h - 9 = 3 で、h = 2、\rho = 1。\mathrm{P}_3 は線分 \mathrm{P}_1\mathrm{P}_2 を 2 : 1 に内分する点になる。
(3, -1, 1) + \dfrac{2}{3}(2, 1, -2) = \left(\dfrac{13}{3}, -\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)
(2) の答えは、半径 1、中心 \mathrm{P}_3\left(\dfrac{13}{3}, -\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3}\right) です。
平面 H は直線 \mathrm{P}_1\mathrm{P}_2 に垂直だから、(2, 1, -2) が H の法線ベクトルになる。
求めるベクトルを (a, b, c) とする。xy 平面に平行だから c = 0。H に平行だから法線と垂直で、2a + b - 2c = 0 です。
b = -2a を大きさの条件 a^2 + b^2 = 1 に代入すると 5a^2 = 1。(3) の答えは次の 2 つ。
\pm\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}, -\dfrac{2}{\sqrt{5}}, 0\right)
(3) のベクトルの 1 つを \vec{u} = \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}, -\dfrac{2}{\sqrt{5}}, 0\right) とする。H に平行で \vec{u} に垂直な単位ベクトルとして、次の \vec{v} がとれます。
\vec{v} = \dfrac{1}{3\sqrt{5}}(4, 2, 5)
\vec{v} は法線 (2, 1, -2) とも \vec{u} とも内積が 0 で、大きさは 1。円 C 上の点 \mathrm{Q} は、\mathrm{P}_3 から \cos\theta\,\vec{u} + \sin\theta\,\vec{v} だけ進んだ点として表せる。
\vec{u} の z 成分は 0、\vec{v} の z 成分は \dfrac{5}{3\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3} だから、\mathrm{Q} の z 座標は -\dfrac{1}{3} + \dfrac{\sqrt{5}}{3}\sin\theta になります。
z は -\dfrac{1 + \sqrt{5}}{3} から \dfrac{\sqrt{5} - 1}{3} までを動く。d = |z| で、絶対値は下の端のほうが大きい。
d の最大値は \dfrac{1 + \sqrt{5}}{3} で、\sin\theta = -1、\cos\theta = 0 のとき。点 \mathrm{Q} は \mathrm{P}_3 から -\vec{v} だけ進んだ点です。
\left(\dfrac{13}{3}, -\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3}\right) - \dfrac{1}{3\sqrt{5}}(4, 2, 5)
= \left(\dfrac{65 - 4\sqrt{5}}{15}, -\dfrac{5 + 2\sqrt{5}}{15}, -\dfrac{1 + \sqrt{5}}{3}\right)
(4) の答えは、d の最大値 \dfrac{1 + \sqrt{5}}{3}、そのときの点 \mathrm{Q} は上の座標です。