四面体 \mathrm{OABC} において，\vec{a} = \vec{\mathrm{OA}}，\vec{b} = \vec{\mathrm{OB}}，\vec{c} = \vec{\mathrm{OC}} とおき，次が成り立つとする。
\angle\mathrm{AOB} = 60^\circ，|\vec{a}| = 2，|\vec{b}| = 3，|\vec{c}| = \sqrt{6}，\vec{b} \cdot \vec{c} = 3
ただし，\vec{b} \cdot \vec{c} は，2 つのベクトル \vec{b} と \vec{c} の内積を表す。さらに，線分 \mathrm{OC} と線分 \mathrm{AB} は垂直であるとする。点 \mathrm{C} から 3 点 \mathrm{O}，\mathrm{A}，\mathrm{B} を含む平面に下ろした垂線を \mathrm{CH} とし，点 \mathrm{O} から 3 点 \mathrm{A}，\mathrm{B}，\mathrm{C} を含む平面に下ろした垂線を \mathrm{OK} とする。
(1) \vec{a} \cdot \vec{b} と \vec{c} \cdot \vec{a} を求めよ。
(2) ベクトル \vec{\mathrm{OH}} を \vec{a} と \vec{b} を用いて表せ。
(3) ベクトル \vec{c} とベクトル \vec{\mathrm{HK}} は平行であることを示せ。
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ に値を代入して、\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 です。
線分 \mathrm{OC} と線分 \mathrm{AB} は垂直だから \vec{c} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0 で、展開すると \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 3 になる。
内積はどれも 3 で、長さの 2 乗は |\vec{a}|^2 = 4、|\vec{b}|^2 = 9、|\vec{c}|^2 = 6 です。(2) と (3) の計算は、この 6 つの値だけで進む。
\mathrm{H} は平面 \mathrm{OAB} 上の点だから、\vec{\mathrm{OH}} = s\vec{a} + t\vec{b} と書けます。
\mathrm{CH} は平面 \mathrm{OAB} に垂直で、平面上の \vec{a} とも \vec{b} とも垂直。\vec{\mathrm{CH}} = s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c} と \vec{a}、\vec{b} との内積をそれぞれ 0 とおく。
\vec{\mathrm{CH}} \cdot \vec{a} = 4s + 3t - 3 = 0
\vec{\mathrm{CH}} \cdot \vec{b} = 3s + 9t - 3 = 0
2 式を解くと s = \dfrac{2}{3}、t = \dfrac{1}{9} です。
\vec{\mathrm{OH}} = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{9}\vec{b}
\mathrm{K} は平面 \mathrm{ABC} 上の点だから、\vec{\mathrm{OK}} = p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c}、p + q + r = 1 と書けます。
\mathrm{OK} は平面 \mathrm{ABC} 上の \vec{\mathrm{AB}} = \vec{b} - \vec{a} とも \vec{\mathrm{AC}} = \vec{c} - \vec{a} とも垂直。だから \vec{\mathrm{OK}} と \vec{a}、\vec{b}、\vec{c} の内積は 3 つとも等しい。
\vec{\mathrm{OK}} \cdot \vec{a} = 4p + 3q + 3r
\vec{\mathrm{OK}} \cdot \vec{b} = 3p + 9q + 3r
\vec{\mathrm{OK}} \cdot \vec{c} = 3p + 3q + 6r
1 つ目と 2 つ目が等しいことから p = 6q、1 つ目と 3 つ目から p = 3r。p + q + r = 1 と合わせて、p = \dfrac{2}{3}、q = \dfrac{1}{9}、r = \dfrac{2}{9} になります。
\vec{\mathrm{OK}} = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{9}\vec{b} + \dfrac{2}{9}\vec{c}
\vec{a} と \vec{b} の係数は (2) の \vec{\mathrm{OH}} と同じです。差をとると \vec{a} と \vec{b} の項は消え、\vec{c} の項だけが残る。
\vec{\mathrm{HK}} = \vec{\mathrm{OK}} - \vec{\mathrm{OH}} = \dfrac{2}{9}\vec{c}
\vec{c} \neq \vec{0} だから \vec{\mathrm{HK}} も \vec{0} でなく、\vec{c} と \vec{\mathrm{HK}} は平行です。