正の実数からなる 2 つの数列 \{x_n\}，\{y_n\} を次のように定める。
x_1 = 2，y_1 = \dfrac{1}{2}，x_{n+1} = (x_n)^5 \cdot (y_n)^2，y_{n+1} = x_n \cdot (y_n)^6
このとき，以下の問いに答えよ。
(1) k を実数とする。a_n = \log_2 x_n，b_n = \log_2 y_n とおく。このとき，数列 \{a_n + kb_n\} が等比数列になるような k の値をすべて求めよ。
(2) 数列 \{x_n\} の一般項を求めよ。
x_n、y_n は正の実数だから \log_2 をとれます。x_{n+1} = (x_n)^5 \cdot (y_n)^2 の両辺の \log_2 をとると、積は和に、指数は係数に変わる。
a_{n+1} = 5a_n + 2b_n
b_{n+1} = a_n + 6b_n
下の式は y_{n+1} = x_n \cdot (y_n)^6 から同じように導いたもの。初項は a_1 = \log_2 2 = 1、b_1 = \log_2 \dfrac{1}{2} = -1 です。
c_n = a_n + kb_n とおく。漸化式から a_2 = 3、b_2 = -5、a_3 = 5、b_3 = -27 で、c_1 = 1 - k、c_2 = 3 - 5k、c_3 = 5 - 27k になります。
\{c_n\} が等比数列なら、初項 c_1 と公比 r で c_2 = c_1r、c_3 = c_1r^2 と書けるため c_1c_3 = c_2^2 です。代入すると (1 - k)(5 - 27k) = (3 - 5k)^2 で、展開して整理すると k についての次の 2 次方程式になる。
k^2 - k - 2 = 0
解は k = 2 と k = -1 の 2 つだけ。ほかの k では c_1c_3 \neq c_2^2 で、等比数列にならない。
k = 2 のときは、漸化式から a_{n+1} + 2b_{n+1} = 7a_n + 14b_n です。右辺を 7 でくくれば次の式になる。
a_{n+1} + 2b_{n+1} = 7(a_n + 2b_n)
k = -1 のときも同じで、a_{n+1} - b_{n+1} = 4a_n - 4b_n を 4 でくくる。
a_{n+1} - b_{n+1} = 4(a_n - b_n)
どちらもすべての n で前の項の定数倍で、等比数列。求める k の値は 2 と -1 です。
初項は a_1 + 2b_1 = -1、a_1 - b_1 = 2 だから、2 つの数列の一般項は次のとおり。
a_n + 2b_n = -7^{n-1}
a_n - b_n = 2 \cdot 4^{n-1}
下の式を 2 倍して上の式に足すと b_n が消えます。左辺は 3a_n、右辺は 4 \cdot 4^{n-1} - 7^{n-1} = 4^n - 7^{n-1} になる。
a_n = \dfrac{4^n - 7^{n-1}}{3}
x_n = 2^{a_n} だから、一般項は次の式です。
x_n = 2^{\frac{4^n - 7^{n-1}}{3}}
n = 2 では指数が \dfrac{16 - 7}{3} = 3 で、漸化式で求めた x_2 =2^5 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 8 と一致する。