半径 1 の円を底面とする高さが \sqrt{3} の直円柱と，半径が r の球を考える。直円柱の底面の円の中心と球の中心が一致するとき，直円柱の内部と球の内部の共通部分の体積 V(r) を求めよ。
底面の中心を原点にとり、直円柱を x^2 + y^2 \leqq 1、0 \leqq z \leqq \sqrt{3}、球を x^2 + y^2 + z^2 \leqq r^2 とおく。共通部分は z \geqq 0 の側にあります。
高さ z の平面で切ると、直円柱の断面は半径 1 の円、球の断面は半径 \sqrt{r^2 - z^2} の円。共通部分の断面は、2 つのうち小さいほうの円になる。
断面積は \pi と \pi(r^2 - z^2) の小さいほうで、2 つがいれかわる高さは z = \sqrt{r^2 - 1} です。
場合を分ける境目は 3 つある。r = 1 で球が側面に届き、r = \sqrt{3} で上面に届き、r = 2 で上面の縁に届く。上面の縁と原点の距離が \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 だからです。
図は xz 平面で切った断面で、長方形は直円柱、半円は球を表す。r を 4 つの場合に分けて順に示しています。
どの高さでも \sqrt{r^2 - z^2} \leqq r \leqq 1 で、球の断面は直円柱の断面に含まれます。球のいちばん上も z = r \leqq 1 < \sqrt{3} で、上面には届かない。
共通部分は半径 r の半球そのもので、V(r) = \dfrac{2}{3}\pi r^3 です。
h = \sqrt{r^2 - 1} とおくと、0 \leqq z \leqq h では断面は半径 1 の円、h \leqq z \leqq r では半径 \sqrt{r^2 - z^2} の円。r \leqq \sqrt{3} だから、球のいちばん上 z = r は上面を越えない。
V(r) = \pi h + \displaystyle\int_h^r \pi(r^2 - z^2)\,dz
\displaystyle\int_h^r (r^2 - z^2)\,dz = \dfrac{2}{3}r^3 - r^2 h + \dfrac{h^3}{3}
h^2 = r^2 - 1 から h^3 = (r^2 - 1)h と書きかえる。h を含む項は \pi h、-\pi r^2 h、\dfrac{\pi(r^2 - 1)h}{3} の 3 つで、足すと -\dfrac{2}{3}\pi(r^2 - 1)h になります。残りの項は \dfrac{2}{3}\pi r^3 だけ。
V(r) = \dfrac{2}{3}\pi\left\{r^3 - (r^2 - 1)\sqrt{r^2 - 1}\right\}
r = 1 では \dfrac{2}{3}\pi となり、0 < r \leqq 1 の式とつながる。
球は上面を越え、z の範囲は \sqrt{3} までになる。r \leqq 2 のあいだは h = \sqrt{r^2 - 1} \leqq \sqrt{3} で、上面の縁はまだ球の外にあります。
V(r) = \pi h + \displaystyle\int_h^{\sqrt{3}} \pi(r^2 - z^2)\,dz
\displaystyle\int_h^{\sqrt{3}} (r^2 - z^2)\,dz は \sqrt{3}(r^2 - 1) - r^2 h + \dfrac{h^3}{3} になる。
h を含む項は前の場合と同じ形でまとまり、V(r) = \sqrt{3}\pi(r^2 - 1) - \dfrac{2}{3}\pi(r^2 - 1)h。\dfrac{\pi}{3}(r^2 - 1) でくくると次の式になります。
V(r) = \dfrac{\pi}{3}(r^2 - 1)\left(3\sqrt{3} - 2\sqrt{r^2 - 1}\right)
r = \sqrt{3} ではどちらの式も 2\sqrt{3}\pi - \dfrac{4\sqrt{2}}{3}\pi になり、前の場合とつながる。
直円柱の中で原点からいちばん遠いのは上面の縁で、距離は 2。r > 2 なら直円柱全体が球に含まれ、V(r) = \sqrt{3}\pi です。
r = 2 を前の場合の式に代入すると \dfrac{\pi}{3} \cdot 3 \cdot (3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) = \sqrt{3}\pi で、ここでもつながる。4 つの場合を並べると次のとおり。
0 < r \leqq 1 のとき V(r) = \dfrac{2}{3}\pi r^3
1 < r \leqq \sqrt{3} のとき V(r) = \dfrac{2}{3}\pi\left\{r^3 - (r^2 - 1)\sqrt{r^2 - 1}\right\}
\sqrt{3} < r \leqq 2 のとき V(r) = \dfrac{\pi}{3}(r^2 - 1)\left(3\sqrt{3} - 2\sqrt{r^2 - 1}\right)
r > 2 のとき V(r) = \sqrt{3}\pi