a，b を 0 < a < 1，0 < b < 1 を満たす実数とする。平面上の三角形 \mathrm{ABC} を考え，辺 \mathrm{AB} を a : 1 - a に内分する点を \mathrm{P}，辺 \mathrm{BC} を b : 1 - b に内分する点を \mathrm{Q}，辺 \mathrm{CA} の中点を \mathrm{R} とし，三角形 \mathrm{ABC} の面積を S，三角形 \mathrm{PQR} の面積を T とする。
(1) \dfrac{T}{S} を a，b で表せ。
(2) a，b が 0 < a < \dfrac{1}{2}，0 < b < \dfrac{1}{2} の範囲を動くとき，\dfrac{T}{S} がとりうる値の範囲を求めよ。
(3) p，q を 3 以上の整数とし，a = \dfrac{1}{p}，b = \dfrac{1}{q} とする。\dfrac{T}{S} の逆数 \dfrac{S}{T} が整数となるような p，q の組 (p,\ q) をすべて求めよ。
三角形 \mathrm{PQR} は、三角形 \mathrm{ABC} から三角形 \mathrm{APR}、\mathrm{BQP}、\mathrm{CRQ} を除いた残りです。
三角形 \mathrm{APR} は角 \mathrm{A} を三角形 \mathrm{ABC} と共有し、角 \mathrm{A} を挟む 2 辺は \mathrm{AB} の a 倍と \mathrm{AC} の \dfrac{1}{2} 倍。面積は S の \dfrac{a}{2} 倍になる。
同じように、三角形 \mathrm{BQP} は角 \mathrm{B} を挟む 2 辺が \mathrm{BA} の 1 - a 倍と \mathrm{BC} の b 倍で、面積は (1 - a)bS です。
三角形 \mathrm{CRQ} の 2 辺は \mathrm{CA} の \dfrac{1}{2} 倍と \mathrm{CB} の 1 - b 倍で、面積は \dfrac{1 - b}{2}S。
T = S - \dfrac{a}{2}S - (1 - a)bS - \dfrac{1 - b}{2}S
両辺を S で割り、右辺を展開して整理します。
\dfrac{T}{S} = ab - \dfrac{a}{2} - \dfrac{b}{2} + \dfrac{1}{2}
(1) の式の ab - \dfrac{a}{2} - \dfrac{b}{2} は、\left(\dfrac{1}{2} - a\right)\left(\dfrac{1}{2} - b\right) を展開した式より \dfrac{1}{4} 小さい。\dfrac{T}{S} は次のように書きかえられます。
\dfrac{T}{S} = \left(\dfrac{1}{2} - a\right)\left(\dfrac{1}{2} - b\right) + \dfrac{1}{4}
0 < a < \dfrac{1}{2}、0 < b < \dfrac{1}{2} のとき、\dfrac{1}{2} - a と \dfrac{1}{2} - b はどちらも 0 より大きく \dfrac{1}{2} より小さい。積は図の長方形の面積にあたり、1 辺 \dfrac{1}{2} の正方形の面積 \dfrac{1}{4} より小さく、0 より大きい。
a = b として a を 0 から \dfrac{1}{2} まで動かすと、積 \left(\dfrac{1}{2} - a\right)^2 は 0 と \dfrac{1}{4} のあいだの値をすべてとります。とりうる値の範囲は \dfrac{1}{4} < \dfrac{T}{S} < \dfrac{1}{2} です。
p、q が 3 以上だから、a = \dfrac{1}{p} と b = \dfrac{1}{q} は \dfrac{1}{3} 以下で、(2) の範囲に含まれます。\dfrac{1}{4} < \dfrac{T}{S} < \dfrac{1}{2} の逆数をとると 2 < \dfrac{S}{T} < 4 となり、整数なら \dfrac{S}{T} = 3 に決まります。
\dfrac{T}{S} = \dfrac{1}{3} を (2) の形に代入すると、次の式になる。
\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{p}\right)\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{q}\right) = \dfrac{1}{12}
左辺は \dfrac{(p - 2)(q - 2)}{4pq} で、両辺に 12pq をかけると 3(p - 2)(q - 2) = pq。展開して整理すると pq - 3p - 3q + 6 = 0 となり、次の形に変形できます。
(p - 3)(q - 3) = 3
p - 3 と q - 3 は 0 以上の整数で、積が 3 になるのは一方が 1、他方が 3 のときに限られる。求める組は (p,\ q) = (4,\ 6)、(6,\ 4) です。