x \geqq 2 を満たす実数 x に対し，f(x) = \dfrac{\log(2x - 3)}{x} とおく。必要ならば，\displaystyle\lim_{t \to \infty} \dfrac{\log t}{t} = 0 であること，および，自然対数の底 e が 2 < e < 3 を満たすことを証明なしで用いてもよい。
(1) f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2(2x - 3)} とおくとき，関数 g(x) (x \geqq 2) を求めよ。
(2) (1)で求めた関数 g(x) に対し，g(\alpha) = 0 を満たす 2 以上の実数 \alpha がただ 1 つ存在することを示せ。
(3) 関数 f(x) (x \geqq 2) の増減と極限 \displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) を調べ，y = f(x) (x \geqq 2) のグラフの概形を xy 平面上に描け。ただし，(2)の \alpha は用いてよい。グラフの凹凸は調べなくてよい。
(4) 2 \leqq m < n を満たす整数 m, n の組 (m, n) に対して，等式
(*) (2m - 3)^n = (2n - 3)^m
が成り立つとする。このような組 (m, n) をすべて求めよ。
\log(2x - 3) の導関数は \dfrac{2}{2x - 3}。商の微分法から次の式になる。
f'(x) = \dfrac{\dfrac{2x}{2x - 3} - \log(2x - 3)}{x^2}
分子と分母に 2x - 3 を掛けて分母を x^2(2x - 3) にそろえると、(1) の答えを得ます。
g(x) = 2x - (2x - 3)\log(2x - 3)
g(x) を積の微分法で微分すると、定数の 2 どうしが打ち消し合います。
g'(x) = 2 - 2\log(2x - 3) - 2 = -2\log(2x - 3)
x > 2 では 2x - 3 > 1 だから g'(x) < 0。g(x) は x \geqq 2 で減少する。
g(2) = 4 > 0。2x - 3 = e^2 となる x = \dfrac{e^2 + 3}{2} では、値が負になります。
g\left(\dfrac{e^2 + 3}{2}\right) = e^2 + 3 - 2e^2 = 3 - e^2 < 0
e > 2 より e^2 > 4 で、最後の不等号が成り立つ。g は連続で減少するから、中間値の定理により g(\alpha) = 0 を満たす \alpha \geqq 2 がただ 1 つある。
f'(x) の分母 x^2(2x - 3) は正だから、f'(x) と g(x) の符号は同じ。f(x) は 2 \leqq x \leqq \alpha で増加し、x \geqq \alpha で減少します。
g(\alpha) = 0 を書き直すと \log(2\alpha - 3) = \dfrac{2\alpha}{2\alpha - 3} で、最大値は次の形になる。
f(\alpha) = \dfrac{2}{2\alpha - 3}
t = 2x - 3 とおくと、x \to \infty のとき t \to \infty で、極限は 0 です。
f(x) = \dfrac{2\log t}{t + 3} = 2 \cdot \dfrac{\log t}{t} \cdot \dfrac{t}{t + 3} \to 0
f(2) = 0 で、x > 2 では f(x) > 0。グラフは点 (2, 0) から上がり、x = \alpha で最大値をとったあと、x 軸に近づきながら下がっていく。
2m - 3 \geqq 1、2n - 3 \geqq 1 だから、(*) の両辺の自然対数をとれる。
n\log(2m - 3) = m\log(2n - 3)
両辺を mn で割ると \dfrac{\log(2m - 3)}{m} = \dfrac{\log(2n - 3)}{n}、つまり f(m) = f(n) です。
f は \alpha までは増加し、\alpha からは減少する。m \geqq \alpha なら f(m) > f(n)、n \leqq \alpha なら f(m) < f(n) になるから、m < \alpha < n でなければならない。
g(5) = 10 - 7\log 7 の符号を調べる。e < 3 から e^3 < 27 < 49 = 7^2 で、\log 7 > \dfrac{3}{2} です。
g(5) < 10 - 7 \cdot \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2} < 0
g は減少関数だから \alpha < 5。m は \alpha より小さい 2 以上の整数で、2、3、4 のどれかになる。
m = 2 では f(2) = 0。n > 2 では f(n) > 0 だから、等式は成り立ちません。
m = 4 のとき n \geqq 5 で、5 > \alpha だから f(n) \leqq f(5)。さらに 7^4 = 2401 < 3125 = 5^5 より f(5) < f(4) で、f(n) = f(4) となる n はない。
m = 3 のとき、n = 6 で (*) が成り立ちます。
3^6 = 729 = 9^3
n > \alpha で f は減少するから、f(n) = f(3) を満たす n はほかにない。(4) の答えは (m, n) = (3, 6)。