条件 (*) を因数分解する

両辺の積分を計算します。

\begin{aligned} & \int_a^c (x^2 + bx)\,dx \\ & = \dfrac{c^3 - a^3}{3} + \dfrac{b(c^2 - a^2)}{2} \end{aligned}

\begin{aligned} & \int_b^c (x^2 + ax)\,dx \\ & = \dfrac{c^3 - b^3}{3} + \dfrac{a(c^2 - b^2)}{2} \end{aligned}

左辺から右辺を引くと c^3 が消える。残りの項は、次の 2 つの式を使って b - a でくくれます。

b^3 - a^3 = (b - a)(a^2 + ab + b^2)

\begin{aligned} & b(c^2 - a^2) - a(c^2 - b^2) \\ & = (b - a)(c^2 + ab) \end{aligned}

差をまとめると次の形になる。

\begin{aligned} & \dfrac{b - a}{6}\left\{2(a^2 + ab + b^2) + 3(c^2 + ab)\right\} \\ & = \dfrac{b - a}{6}(2a^2 + 5ab + 2b^2 + 3c^2) \end{aligned}

2a^2 + 5ab + 2b^2 = (2a + b)(a + 2b) と因数分解できるため、(*) は「a = b または (2a + b)(a + 2b) = -3c^2」と同じ条件です。

図は c = 3 のとき。直線 a = b と曲線 (2a + b)(a + 2b) = -27 が (*) を満たす点の集まりで、曲線上の格子点は 4 個ある。

(1) c が 3 の倍数になる理由

a \neq b のときは (2a + b)(a + 2b) = -3c^2 です。u = 2a + b、v = a + 2b とおくと、和は 3 の倍数になる。

u + v = 3(a + b)

積 uv = -3c^2 は 3 の倍数で、3 は素数だから u と v の少なくとも一方は 3 の倍数。和も 3 の倍数であるため、もう一方も 3 の倍数になります。

図の表は、a と b を 3 で割った余りごとに、u と v を 3 で割った余りを (u,\ v) の形で並べたものです。一方の余りが 0 になるのは対角線の 3 つで、そこではもう一方も 0 になっている。

u と v がどちらも 3 の倍数なら、uv = -3c^2 は 9 の倍数です。c^2 が 3 の倍数になり、3 は素数だから c も 3 の倍数となる。

a < b だから a \neq b で、(1) と同じ理由で u と v はどちらも 3 の倍数です。u = 3U、v = 3V とおくと、9UV = -3 \cdot 3600^2 から次の式が成り立つ。

UV = -\dfrac{3600^2}{3} = -4320000

逆に、整数 U、V から a と b は次のように決まり、どちらも整数になります。

a = 2U - V、b = 2V - U

b - a = 3(V - U) だから、a < b は U < V と同じ。UV < 0 と合わせると U < 0 < V で、組 (a,\ b) は 4320000 の正の約数 d と、U = -d、V = \dfrac{4320000}{d} によって 1 つずつ対応する。

図は c = 6 のときで、UV = -12 の U < 0 < V の部分にある格子点は 12 の正の約数と同じ 6 個です。

3600 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 だから、4320000 = \dfrac{3600^2}{3} = 2^8 \cdot 3^3 \cdot 5^4 です。

正の約数は 2^i \cdot 3^j \cdot 5^k の形をしていて、指数 i、j、k はそれぞれ 0 から 8、0 から 3、0 から 4 までの整数。

指数の選び方は 9 \cdot 4 \cdot 5 = 180 通りで、条件を満たす組 (a,\ b) の個数は 180 になる。

図は指数を 1 つずつ選ぶ様子です。i = 4、j = 2、k = 2 を選ぶと 3600 そのものになり、これも約数の 1 つ。