正の整数 n に対して，S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left( \sqrt{1 + \dfrac{k}{n^2}} - 1 \right) とする。
(1) 正の実数 x に対して，次の不等式が成り立つことを示せ。
\dfrac{x}{2 + x} \leqq \sqrt{1 + x} - 1 \leqq \dfrac{x}{2}
(2) 極限値 \displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n を求めよ。
\sqrt{1 + x} - 1 に \sqrt{1 + x} + 1 をかけて同じ数で割ると、分子は (1 + x) - 1 = x になります。
\sqrt{1 + x} - 1 = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x} + 1}
x > 0 では \sqrt{1 + x} > 1 で、分母は 2 より大きい。右辺は \dfrac{x}{2} より小さくなります。
1 + x > 1 のとき (1 + x)^2 > 1 + x だから \sqrt{1 + x} < 1 + x で、分母は 2 + x より小さい。右辺は \dfrac{x}{2 + x} より大きく、示すべき不等式が成り立つ。
図の 3 本の曲線は、上から y = \dfrac{x}{2}、y = \sqrt{1 + x} - 1、y = \dfrac{x}{2 + x}。x が 0 に近いところでは、3 本はほとんど重なります。
(1) の不等式に x = \dfrac{k}{n^2} を代入すると、k = 1, 2, \ldots, n のそれぞれについて次の式が成り立ちます。
\dfrac{k}{2n^2 + k} \leqq \sqrt{1 + \dfrac{k}{n^2}} - 1 \leqq \dfrac{k}{2n^2}
右側を k = 1 から n まで足す。1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} を使うと、S_n を上からおさえる式になる。
S_n \leqq \dfrac{n(n + 1)}{4n^2} = \dfrac{n + 1}{4n}
図は n = 1 から 24 までの値を並べたもので、いちばん上の点の列は \dfrac{n + 1}{4n}、そのすぐ下は S_n です。
左側の \dfrac{k}{2n^2 + k} は k ごとに分母が違い、このままでは和を計算しにくい。k \leqq n だから分母を 2n^2 + n に替えると、値は小さくなるか変わらない。
\dfrac{k}{2n^2 + k} \geqq \dfrac{k}{2n^2 + n}
k = 1 から n まで足すと、S_n を下からおさえる式が得られます。
S_n \geqq \dfrac{n(n + 1)}{2(2n^2 + n)} = \dfrac{n + 1}{2(2n + 1)}
図のいちばん下の点の列がこの値で、S_n の点はいつも上下の列のあいだにある。
2 つの評価を並べると、次の不等式になります。
\dfrac{n + 1}{2(2n + 1)} \leqq S_n \leqq \dfrac{n + 1}{4n}
左辺は分子と分母を n で割って \dfrac{1 + \frac{1}{n}}{4 + \frac{2}{n}}、右辺は \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4n}。n \to \infty でどちらも \dfrac{1}{4} に近づく。
はさみうちの原理から \displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{1}{4} です。
x が 0 に近いと \sqrt{1 + x} - 1 は \dfrac{x}{2} とほとんど変わらない。\dfrac{k}{n^2} \leqq \dfrac{1}{n} は n が大きいほど小さく、S_n は \dfrac{1}{2n^2}(1 + 2 + \cdots + n) とほぼ同じ値になります。