次の各問いに答えよ。
(1) n を 2 以上の整数とする。3^n - 2^n が素数ならば n も素数であることを示せ。
(2) a を 1 より大きい定数とする。微分可能な関数 f(x) が f(a) = af(1) を満たすとき，曲線 y = f(x) の接線で原点 (0, 0) を通るものが存在することを示せ。
対偶「n が素数でなければ 3^n - 2^n も素数でない」を示します。2 以上の整数 n が素数でないとき、2 以上の整数 k、m を使って n = km と書ける。
x = 3^k、y = 2^k とおくと 3^n - 2^n = x^m - y^m で、次のように因数分解できます。
x^m - y^m = (x - y)K
K = x^{m-1} + x^{m-2}y + \cdots + y^{m-1}
3^{k+1} - 2^{k+1} = 3(3^k - 2^k) + 2^k より、3^k - 2^k は k が 1 増えるたびに大きくなる。k \geqq 2 だから x - y = 3^k - 2^k \geqq 3^2 - 2^2 = 5 です。
K は m 個の正の整数の和で、最初の項 x^{m-1} = 3^{k(m-1)} だけでも 9 以上。3^n - 2^n は 1 より大きい 2 つの整数の積になり、素数ではありません。
n = 4 なら 3^4 - 2^4 = 65 = 5 \times 13 で、3^2 - 2^2 = 5 で割り切れます。逆は成り立たず、素数 n = 7 でも 3^7 - 2^7 = 2059 = 29 \times 71 は素数ではない。
曲線 y = f(x) の x = t における接線は y = f'(t)(x - t) + f(t) です。x = 0、y = 0 を代入すると、原点を通る条件は次の式になる。
tf'(t) - f(t) = 0
この式を満たす t が 1 つでもあれば、その点における接線が原点を通ります。
x > 0 で g(x) = \dfrac{f(x)}{x} とおく。g(x) は、原点と曲線上の点 (x, f(x)) を結ぶ直線の傾きです。
g(1) = f(1)、g(a) = \dfrac{f(a)}{a} = f(1) だから、g(1) = g(a) が成り立ちます。2 点 (1, f(1))、(a, af(1)) は、原点を通る同じ直線 y = f(1)x の上にある。
f(x) も x も微分可能で、1 \leqq x \leqq a では x \neq 0 だから、g(x) はこの範囲で微分可能です。平均値の定理より、次の式を満たす c が 1 < c < a の範囲にある。
g'(c) = \dfrac{g(a) - g(1)}{a - 1} = 0
商の微分で g'(x) = \dfrac{xf'(x) - f(x)}{x^2} だから、g'(c) = 0 は cf'(c) - f(c) = 0 と同じです。
t = c は原点を通る接線の条件 tf'(t) - f(t) = 0 を満たし、x = c における接線 y = f'(c)(x - c) + f(c) は原点を通ります。