空間内の 2 直線 l, m はねじれの位置にあるとする。l と m の両方に直交する直線がただ 1 つ存在することを示せ。
l と m の両方に直交する直線は、l、m のそれぞれと交わり、交点で垂直になる。交点を \mathrm{P}、\mathrm{Q} とします。
ねじれの位置にある 2 直線は共有点をもたないから \mathrm{P} \neq \mathrm{Q} で、この直線は直線 \mathrm{PQ} にほかならない。
l 上の点 \mathrm{A} と m 上の点 \mathrm{B} を 1 つずつとり、方向ベクトルは大きさ 1 の \vec{u}、\vec{v} にする。\mathrm{P}、\mathrm{Q} は実数 s、t で表せます。
\vec{\mathrm{AP}} = s\vec{u}、\vec{\mathrm{BQ}} = t\vec{v}
示すことは、次の 2 式を満たす s、t がただ 1 組あることです。
\vec{\mathrm{PQ}} \cdot \vec{u} = 0、\vec{\mathrm{PQ}} \cdot \vec{v} = 0
\vec{w} = \vec{\mathrm{AB}} とおくと、\vec{\mathrm{PQ}} = \vec{\mathrm{PA}} + \vec{\mathrm{AB}} + \vec{\mathrm{BQ}} から \vec{\mathrm{PQ}} = \vec{w} + t\vec{v} - s\vec{u}。k = \vec{u} \cdot \vec{v} とおき、|\vec{u}| = |\vec{v}| = 1 を使って内積を計算します。
\begin{aligned} \vec{\mathrm{PQ}} \cdot \vec{u} &= \vec{w} \cdot \vec{u} + kt - s \\ \vec{\mathrm{PQ}} \cdot \vec{v} &= \vec{w} \cdot \vec{v} + t - ks \end{aligned}
どちらも 0 とおくと、s、t の連立 1 次方程式になる。
\begin{aligned} s - kt &= \vec{w} \cdot \vec{u} \\ ks - t &= \vec{w} \cdot \vec{v} \end{aligned}
l と m は平行でないから、\vec{u} と \vec{v} のなす角 \theta は 0 でも \pi でもない。k = \cos\theta は -1 < k < 1 を満たします。
上の式に k をかけて下の式を引くと、s が消える。
(1 - k^2)t = k(\vec{w} \cdot \vec{u}) - \vec{w} \cdot \vec{v}
1 - k^2 > 0 だから t は 1 つに決まり、s = \vec{w} \cdot \vec{u} + kt も 1 つに決まる。
この s、t で決まる \mathrm{P}、\mathrm{Q} を通る直線は、l と m の両方に直交する。両方に直交する直線はどれもこの \mathrm{P}、\mathrm{Q} を通るため、そのような直線はただ 1 つです。