(1) 加法定理と 2 倍角の公式で表す

c = \cos\theta とおきます。\cos 3\theta = \cos(2\theta + \theta) を加法定理で展開し、2 倍角の公式と \sin^2\theta = 1 - c^2 を使う。

\begin{aligned} \cos 3\theta &= \cos 2\theta\cos\theta - \sin 2\theta\sin\theta \\ &= (2c^2 - 1)c - 2(1 - c^2)c \\ &= 4c^3 - 3c \end{aligned}

\cos 4\theta は 2 倍角の公式を 2 回使います。

\begin{aligned} \cos 4\theta &= 2\cos^2 2\theta - 1 \\ &= 2(2c^2 - 1)^2 - 1 \\ &= 8c^4 - 8c^2 + 1 \end{aligned}

図の横軸の点 x = \cos\theta を動かすと、2 つの曲線の高さが \cos 3\theta と \cos 4\theta になる。

(2) a_k = p^k\cos k\theta を調べる

\cos\theta = \dfrac{1}{p} のとき、a_k = p^k\cos k\theta とおきます。a_1 = 1 で、(1) の式と \cos 2\theta = 2c^2 - 1 に c = \dfrac{1}{p} を代入すると次のようになる。

\begin{aligned} a_2 &= 2 - p^2 \\ a_3 &= 4 - 3p^2 \\ a_4 &= 8 - 8p^2 + p^4 \end{aligned}

p の倍数の項を除くと、a_1 から順に 1、2、4、8 が残ります。p は 3 以上の素数でこれらを割り切らないため、a_1、a_2、a_3、a_4 はどれも p で割り切れない。

図は p = 3、5、7 のときの a_k と 2^{k-1} の表です。差の a_k - 2^{k-1} はどれも p の倍数になっている。

加法定理で \cos(k\theta + \theta) と \cos(k\theta - \theta) を展開して足すと、\sin の項が消えて次の式が残ります。

\begin{aligned} &\cos(k + 1)\theta + \cos(k - 1)\theta \\ &= 2\cos k\theta\cos\theta \end{aligned}

両辺に p^{k+1} をかけ、\cos\theta = \dfrac{1}{p} を使うと a_k の漸化式になる。

a_{k+1} = 2a_k - p^2a_{k-1}

a_0 = 1、a_1 = 1 から、a_k はすべて整数です。p^2a_{k-1} は p の倍数だから、a_{k+1} と 2a_k を p で割った余りは等しい。

数学的帰納法により、k \geqq 1 で a_k と 2^{k-1} を p で割った余りは等しくなります。2^{k-1} は 2 以外の素因数をもたず、p は 3 以上の素数だから、a_k は p で割り切れない。

図の 3 点は、単位円の角 (k - 1)\theta、k\theta、(k + 1)\theta の位置です。両端を結ぶ弦の中点は角 k\theta の向きにあり、原点からの距離は \cos\theta。

正の整数 m、n を使って \theta = \dfrac{m}{n}\pi と書けたとします。n\theta = m\pi だから、\cos n\theta = \cos m\pi = \pm 1。

すると a_n = p^n\cos n\theta = \pm p^n となり、a_n は p で割り切れる。a_k が p で割り切れないことと矛盾するため、そのような m、n は存在しません。

p = 2 では 2^{k-1} が 2 で割り切れるため、この議論は成り立たない。実際、\cos\theta = \dfrac{1}{2} なら \theta = \dfrac{\pi}{3} と書けます。

図は p = 3 のときの点 (\cos k\theta, \sin k\theta) を、k = 1, 2, 3, \ldots と順に加えたもの。点が (\pm 1, 0) に重なることはない。