空間内に，同一平面上にない 4 点 \mathrm{O}，\mathrm{A}，\mathrm{B}，\mathrm{C} がある。s，t を 0 < s < 1，0 < t < 1 を満たす実数とする。線分 \mathrm{OA} を 1 : 1 に内分する点を \mathrm{A}_0，線分 \mathrm{OB} を 1 : 2 に内分する点を \mathrm{B}_0，線分 \mathrm{AC} を s : (1 - s) に内分する点を \mathrm{P}，線分 \mathrm{BC} を t : (1 - t) に内分する点を \mathrm{Q} とする。さらに，4 点 \mathrm{A}_0，\mathrm{B}_0，\mathrm{P}，\mathrm{Q} が同一平面上にあるとする。
(1) t を s を用いて表せ。
(2) |\vec{\mathrm{OA}}| = 1，|\vec{\mathrm{OB}}| = |\vec{\mathrm{OC}}| = 2，\angle \mathrm{AOB} = 120^\circ，\angle \mathrm{BOC} = 90^\circ，\angle \mathrm{COA} = 60^\circ，\angle \mathrm{POQ} = 90^\circ であるとき，s の値を求めよ。
\vec{\mathrm{OA}} = \vec{a}、\vec{\mathrm{OB}} = \vec{b}、\vec{\mathrm{OC}} = \vec{c} とおきます。4 点 \mathrm{O}、\mathrm{A}、\mathrm{B}、\mathrm{C} は同一平面上にないため、空間のベクトルは \vec{a}、\vec{b}、\vec{c} でただ 1 通りに表せる。
\mathrm{A}_0 は \mathrm{OA} の中点、\mathrm{B}_0 は \mathrm{OB} を 1 : 2 に内分する点です。
\vec{\mathrm{OA}_0} = \dfrac{1}{2}\vec{a}、\vec{\mathrm{OB}_0} = \dfrac{1}{3}\vec{b}
\mathrm{P} と \mathrm{Q} は、内分点の公式から次の形になる。
\vec{\mathrm{OP}} = (1 - s)\vec{a} + s\vec{c}
\vec{\mathrm{OQ}} = (1 - t)\vec{b} + t\vec{c}
平面 \mathrm{A}_0\mathrm{B}_0\mathrm{P} 上の点 \mathrm{X} は、実数 m、n を使って \vec{\mathrm{A}_0\mathrm{X}} = m\vec{\mathrm{A}_0\mathrm{B}_0} + n\vec{\mathrm{A}_0\mathrm{P}} と書けます。始点を \mathrm{O} にそろえると次の形。
\begin{aligned} \vec{\mathrm{OX}} = {} & (1 - m - n)\vec{\mathrm{OA}_0} \\ & + m\vec{\mathrm{OB}_0} + n\vec{\mathrm{OP}} \end{aligned}
係数の和は 1 になります。\mathrm{P} は平面 \mathrm{OAB} 上にないため、\vec{\mathrm{OA}_0}、\vec{\mathrm{OB}_0}、\vec{\mathrm{OP}} による表し方はただ 1 通り。\vec{\mathrm{OQ}} をこの 3 つで表したときの係数の和を 1 とおくと、\mathrm{Q} が平面 \mathrm{A}_0\mathrm{B}_0\mathrm{P} 上にある条件になる。
\vec{a} = 2\vec{\mathrm{OA}_0}、\vec{b} = 3\vec{\mathrm{OB}_0} です。\vec{c} は \vec{\mathrm{OP}} の式を \vec{c} について解いて求めます。
\vec{c} = \dfrac{1}{s}\vec{\mathrm{OP}} - \dfrac{2(1 - s)}{s}\vec{\mathrm{OA}_0}
これらを \vec{\mathrm{OQ}} = (1 - t)\vec{b} + t\vec{c} に代入する。
\begin{aligned} \vec{\mathrm{OQ}} = {} & -\dfrac{2t(1 - s)}{s}\vec{\mathrm{OA}_0} \\ & + 3(1 - t)\vec{\mathrm{OB}_0} + \dfrac{t}{s}\vec{\mathrm{OP}} \end{aligned}
\vec{\mathrm{OQ}} の 3 つの係数の和を 1 とおき、両辺に s をかけます。
-2t(1 - s) + 3s(1 - t) + t = s
展開すると 2s - t - st = 0 になり、t について解ける。
t = \dfrac{2s}{1 + s}
0 < s < 1 のとき、この t は 0 < t < 1 を満たします。図は s を動かしたときの平面で、\mathrm{P} が \mathrm{C} に近づくと \mathrm{Q} も \mathrm{C} に近づく。
|\vec{a}| = 1、|\vec{b}| = |\vec{c}| = 2 と、図に 1 つずつ示した 3 つの角から、内積は次のとおりです。
\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 \cos 120^\circ = -1
\vec{b} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 2 \cos 90^\circ = 0
\vec{c} \cdot \vec{a} = 2 \cdot 1 \cos 60^\circ = 1
\angle \mathrm{POQ} = 90^\circ は \vec{\mathrm{OP}} \cdot \vec{\mathrm{OQ}} = 0 と同じ。(1) の \vec{\mathrm{OP}} と \vec{\mathrm{OQ}} の式で内積を展開する。
\begin{aligned} & \vec{\mathrm{OP}} \cdot \vec{\mathrm{OQ}} \\ & = (1 - s)(1 - t)\,\vec{a} \cdot \vec{b} + (1 - s)t\,\vec{a} \cdot \vec{c} \\ & \quad + s(1 - t)\,\vec{c} \cdot \vec{b} + st\,|\vec{c}|^2 \end{aligned}
内積の値と |\vec{c}|^2 = 4 を代入します。
\begin{aligned} & \vec{\mathrm{OP}} \cdot \vec{\mathrm{OQ}} \\ & = -(1 - s)(1 - t) + (1 - s)t + 4st \\ & = -1 + s + 2t + 2st \end{aligned}
(1) の t(1 + s) = 2s から 2t + 2st = 4s です。内積を 0 とおくと s だけの式になる。
-1 + s + 4s = 0
s = \dfrac{1}{5} で、このとき t = \dfrac{1}{3}。
図は s = \dfrac{1}{5} のときの切り口です。\mathrm{O} の角の印は、\vec{\mathrm{OP}} と \vec{\mathrm{OQ}} が垂直であることを示す。