大阪大学理系 2022 年・第 5 問

曲線 C の点は、t = 0 のとき (1 + e^\pi,\ 0)、t = \pi のとき原点にあります。0 < t < \pi では y = e^t\sin t > 0 で、C は x 軸より上を通る。

\begin{aligned} \dfrac{dx}{dt} &= e^t(\cos t - \sin t) \\ \dfrac{dy}{dt} &= e^t(\sin t + \cos t) \end{aligned}

\dfrac{dx}{dt} は t = \dfrac{\pi}{4} で正から負に変わる。C は t = \dfrac{\pi}{4} まで右へ進み、そこから原点まで左へ戻ります。高さは \dfrac{dy}{dt} = 0 となる t = \dfrac{3\pi}{4} で最大。

t = \dfrac{\pi}{4} のときの x を a とおきます。1 + e^\pi < x < a の範囲では、縦の直線は C と 2 回交わる。

C のうち \dfrac{\pi}{4} \leqq t \leqq \pi の部分を上の曲線、0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{4} の部分を下の曲線とよびます。面積 S は、上の曲線と x 軸のあいだから、下の曲線と x 軸のあいだを除いたもの。

S = \displaystyle\int_0^a y\,dx - \int_{1 + e^\pi}^a y\,dx

1 つ目の積分の y は上の曲線、2 つ目は下の曲線の高さです。上の曲線では t を \pi から \dfrac{\pi}{4} へ、下の曲線では 0 から \dfrac{\pi}{4} へ動かすと、x は積分の下端から上端まで進む。

\begin{aligned} S &= \int_\pi^{\frac{\pi}{4}} y\dfrac{dx}{dt}\,dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}} y\dfrac{dx}{dt}\,dt \\ &= -\int_0^\pi y\dfrac{dx}{dt}\,dt \end{aligned}

1 つ目の積分は上端と下端をいれかえて符号を変えると、\dfrac{\pi}{4} から \pi までの積分になります。0 から \dfrac{\pi}{4} までの 2 つ目とつながり、1 つの積分にまとまる。

被積分関数を 2 倍角の公式で書きかえます。

\begin{aligned} -y\dfrac{dx}{dt} &= e^{2t}(\sin^2 t - \sin t\cos t) \\ &= \dfrac{e^{2t}}{2}(1 - \cos 2t - \sin 2t) \end{aligned}

\cos 2t + \sin 2t を含む部分は、e^{2t}\sin 2t の導関数を使うと積分できる。

(e^{2t}\sin 2t)' = 2e^{2t}(\sin 2t + \cos 2t)

\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}\int_0^\pi e^{2t}\,dt - \dfrac{1}{4}\left[e^{2t}\sin 2t\right]_0^\pi \\ &= \dfrac{1}{4}\left[e^{2t}\right]_0^\pi - 0 \\ &= \dfrac{e^{2\pi} - 1}{4} \end{aligned}

2 項目は \sin 2\pi = \sin 0 = 0 から 0 で、求める面積は \dfrac{e^{2\pi} - 1}{4} です。

x - e^\pi = e^t\cos t、y = e^t\sin t と書くと、点 \mathrm{A}(e^\pi,\ 0) から見た C 上の点は、距離 e^t、x 軸の正の向きから角 t の位置にあります。

t を 0 から \pi まで動かすと、\mathrm{A} と C 上の点を結ぶ線分は、面積を求める部分を重ならずに 1 回通過する。t から t + \Delta t までに通過する部分は、長さほぼ e^t の 2 辺で角 \Delta t を挟む細い三角形です。

その面積 \dfrac{1}{2}e^{2t}\sin\Delta t は、ほぼ \dfrac{1}{2}e^{2t}\Delta t。足し合わせた \displaystyle\int_0^\pi \dfrac{1}{2}e^{2t}\,dt = \dfrac{e^{2\pi} - 1}{4} は、上の答えと一致します。