関数 f(x) = -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{4}{6x + 1} について，以下の問いに答えよ。
(1) 曲線 y = f(x) の接線で，傾きが 1 であり，かつ接点の x 座標が正であるものの方程式を求めよ。
(2) 座標平面上の 2 点 \mathrm{P}(x, f(x))，\mathrm{Q}(x + 1, f(x) + 1) を考える。実数 x が 0 \leqq x \leqq 2 の範囲を動くとき，線分 \mathrm{PQ} が通過してできる図形 S の概形を描け。また S の面積を求めよ。
f'(x) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{24}{(6x + 1)^2} です。これが 1 になるのは \dfrac{24}{(6x + 1)^2} = \dfrac{3}{2}、すなわち (6x + 1)^2 = 16 のときで、x > 0 なら 6x + 1 = 4、x = \dfrac{1}{2}。
f\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{4} - 1 = -\dfrac{5}{4} だから、接線は次の直線になる。
y = x - \dfrac{7}{4}
ここからは \mathrm{P} の x 座標を t と書き、\mathrm{P}(t, f(t))、\mathrm{Q}(t + 1, f(t) + 1) とします。\vec{\mathrm{PQ}} = (1, 1) だから、\mathrm{PQ} はいつも傾き 1、長さ \sqrt{2} の線分。
\mathrm{P} を通る傾き 1 の直線は y = x - g(t) と書け、g(t) は次の式になる。
g(t) = t - f(t) = \dfrac{3}{2}t + \dfrac{4}{6t + 1}
g(t) が大きいほど直線は下にあり、線分 \mathrm{PQ} の上下の動きは g(t) の増減で決まります。
g'(t) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{24}{(6t + 1)^2} で、g'(t) = 0 は (1) と同じ (6t + 1)^2 = 16 になる。0 \leqq t \leqq 2 では t = \dfrac{1}{2} で g'(t) の符号が負から正に変わります。
g(0) = 4、g\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{4}、g(2) = \dfrac{43}{13} です。
線分 \mathrm{PQ} はまず直線 y = x - 4 の上から y = x - \dfrac{7}{4} の上まで上がり、そこから y = x - \dfrac{43}{13} の上まで下がる。折り返す位置の直線は (1) の接線です。
\dfrac{7}{4} < k \leqq \dfrac{43}{13} の直線 y = x - k には、上がるときと下がるときの 2 回、線分 \mathrm{PQ} が乗ります。同じ直線に乗る 2 本の線分は、t の差が 1 より小さいと重なり、1 より大きいと離れる。
境目は g(t) = g(t + 1) となる t で、差を計算すると次の式です。
g(t + 1) - g(t) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{24}{(6t + 1)(6t + 7)}
これが 0 になるのは (6t + 1)(6t + 7) = 16 のときで、t \geqq 0 では t = \dfrac{1}{6}。g\left(\dfrac{1}{6}\right) = g\left(\dfrac{7}{6}\right) = \dfrac{9}{4} になる。
t = \dfrac{1}{6} のときの \mathrm{Q} と t = \dfrac{7}{6} のときの \mathrm{P} は、どちらも点 \left(\dfrac{7}{6}, -\dfrac{13}{12}\right) です。\mathrm{P} の描く曲線と \mathrm{Q} の描く曲線は、この点で交わる。
S の周りを t = 0 の線分から反時計回りにたどると、\mathrm{Q} の曲線 \left(0 \leqq t \leqq \dfrac{1}{6}\right)、\mathrm{P} の曲線 \left(\dfrac{7}{6} \leqq t \leqq 2\right)、t = 2 の線分の順に続きます。
そのあと \mathrm{Q} の曲線 \left(\dfrac{1}{2} \leqq t \leqq 2\right)、t = \dfrac{1}{2} の線分、\mathrm{P} の曲線 \left(0 \leqq t \leqq \dfrac{1}{2}\right) をたどって、t = 0 の線分に戻る。2 つの曲線の交点で、周りは内側へ折れ曲がっています。
0 \leqq t \leqq \dfrac{1}{2} で線分が通る部分を傾き 1 の直線で切ると、切り口は長さ \sqrt{2} の線分 \mathrm{PQ} 1 本です。
切り口の長さはどこでも同じため、面積は \sqrt{2} と、切る直線の動く幅の積になる。y = x - 4 と y = x - \dfrac{7}{4} の距離は \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(4 - \dfrac{7}{4}\right) だから、面積は \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(4 - \dfrac{7}{4}\right) = \dfrac{9}{4}。
\dfrac{1}{2} \leqq t \leqq 2 でも同じで、直線は y = x - \dfrac{7}{4} から y = x - \dfrac{43}{13} まで動くため、面積は \dfrac{43}{13} - \dfrac{7}{4} = \dfrac{81}{52} です。
2 つの和 \dfrac{9}{4} + \dfrac{81}{52} では、上がるときと下がるときの両方で通った部分を 2 回数えています。
2 回通った部分は、接線 y = x - \dfrac{7}{4} の下側で、\mathrm{P} の曲線 \left(\dfrac{1}{2} \leqq t \leqq \dfrac{7}{6}\right) と \mathrm{Q} の曲線 \left(\dfrac{1}{6} \leqq t \leqq \dfrac{1}{2}\right) に挟まれた部分です。
x 軸に垂直な直線で切ると、\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq \dfrac{7}{6} での切り口の長さは x - \dfrac{7}{4} - f(x) = g(x) - \dfrac{7}{4} になる。
\dfrac{7}{6} \leqq x \leqq \dfrac{3}{2} では下側が \mathrm{Q} の曲線 y = f(x - 1) + 1 で、切り口の長さは g(x - 1) - \dfrac{7}{4} です。x - 1 = t とおくと、t の範囲は \dfrac{1}{6} \leqq t \leqq \dfrac{1}{2}。
2 つの積分は、t について \dfrac{1}{6} から \dfrac{7}{6} までの 1 つの積分にまとまります。
\displaystyle\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{7}{6}} \left(\dfrac{3}{2}t + \dfrac{4}{6t + 1} - \dfrac{7}{4}\right) dt
= \left[\dfrac{3}{4}t^2 + \dfrac{2}{3}\log(6t + 1) - \dfrac{7}{4}t\right]_{\frac{1}{6}}^{\frac{7}{6}}
\dfrac{3}{4}t^2 の差は \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{48}{36} = 1、\log(6t + 1) の差は \log 8 - \log 2 = 2\log 2 だから、値は次のとおり。
1 + \dfrac{4}{3}\log 2 - \dfrac{7}{4} = \dfrac{4}{3}\log 2 - \dfrac{3}{4}
上がるときと下がるときの面積の和から、2 回通った部分を 1 回だけ引きます。
\dfrac{9}{4} + \dfrac{81}{52} - \left(\dfrac{4}{3}\log 2 - \dfrac{3}{4}\right)
\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4} = 3 = \dfrac{156}{52} に \dfrac{81}{52} を足して、S の面積は次の値になる。
\dfrac{237}{52} - \dfrac{4}{3}\log 2