京都大学理系 2023 年・第 2 問

\vec{\mathrm{OA}} = \vec{a}、\vec{\mathrm{OB}} = \vec{b}、\vec{\mathrm{OC}} = \vec{c} とおく。4 点は同一平面上にないため \vec{a}、\vec{b}、\vec{c} は 1 次独立で、空間のどのベクトルも \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c} の形にただ 1 通りに表せます。

点 \mathrm{P} は \mathrm{OA} を 1 : 2 に内分し、点 \mathrm{Q} は \mathrm{OB} の中点です。

\vec{\mathrm{OP}} = \dfrac{1}{3}\vec{a},\quad \vec{\mathrm{OQ}} = \dfrac{1}{2}\vec{b}

\mathrm{R} は直線 \mathrm{OD} 上にあり、実数 t を使って \vec{\mathrm{OR}} = t\vec{\mathrm{OD}} と書ける。

\vec{\mathrm{OR}} = t\vec{a} + 2t\vec{b} + 3t\vec{c}

図の点線は、\mathrm{A} から 2\vec{b}、3\vec{c} を順につないだ折れ線です。その端が \mathrm{D} になる。

直線 \mathrm{QR} と直線 \mathrm{PC} の交点を \mathrm{X} とします。\mathrm{X} は直線 \mathrm{QR} 上にあるため、実数 s を使って \vec{\mathrm{OX}} = (1 - s)\vec{\mathrm{OQ}} + s\vec{\mathrm{OR}} と書ける。

\vec{\mathrm{OQ}} と \vec{\mathrm{OR}} を代入し、\vec{a}、\vec{b}、\vec{c} ごとにまとめます。

\vec{\mathrm{OX}} = st\,\vec{a} + \left(\dfrac{1 - s}{2} + 2st\right)\vec{b} + 3st\,\vec{c}

直線 \mathrm{PC} 上の点としては、実数 u を使って \vec{\mathrm{OX}} = (1 - u)\vec{\mathrm{OP}} + u\vec{\mathrm{OC}} と書けます。

\vec{\mathrm{OX}} = \dfrac{1 - u}{3}\vec{a} + u\,\vec{c}

\vec{a}、\vec{b}、\vec{c} による表し方はただ 1 通りだから、2 つの式の係数はそれぞれ等しい。

\begin{aligned} st &= \dfrac{1 - u}{3} \\ \dfrac{1 - s}{2} + 2st &= 0 \\ 3st &= u \end{aligned}

1 つ目と 3 つ目から u を消すと 3st = 1 - 3st となり、st = \dfrac{1}{6}、u = \dfrac{1}{2} です。

2 つ目に st = \dfrac{1}{6} を代入すると \dfrac{1 - s}{2} = -\dfrac{1}{3} で、s = \dfrac{5}{3}。したがって t = \dfrac{1}{6} \div \dfrac{5}{3} = \dfrac{1}{10} になる。

\vec{\mathrm{OR}} = \dfrac{1}{10}\vec{\mathrm{OD}} だから、\mathrm{R} は線分 \mathrm{OD} を 1 : 9 に内分する点です。

\mathrm{OR} : \mathrm{RD} = 1 : 9

交点 \mathrm{X} は、u = \dfrac{1}{2} から線分 \mathrm{PC} の中点にある。s = \dfrac{5}{3} からは \mathrm{Q}、\mathrm{R}、\mathrm{X} がこの順に並び、\mathrm{QR} : \mathrm{RX} = 3 : 2 と分かります。