原点を出発点として数直線上を動く点 \mathrm{P} がある。試行 (*) を次のように定める。
(*) 1 枚の硬貨を 1 回投げて，
\bullet 表が出た場合は点 \mathrm{P} を正の向きに 1 だけ進める。
\bullet 裏が出た場合は 1 個のさいころを 1 回投げ，奇数の目が出た場合は点 \mathrm{P} を正の向きに 1 だけ進め，偶数の目が出た場合は点 \mathrm{P} を負の向きに 2 だけ進める。
ただし，硬貨を投げたとき表裏の出る確率はそれぞれ \dfrac{1}{2}，さいころを投げたとき 1 から 6 までの整数の目の出る確率はそれぞれ \dfrac{1}{6} とする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 試行 (*) を 3 回繰り返したときに，点 \mathrm{P} が原点にもどっている確率を求めよ。
(2) 試行 (*) を 6 回繰り返したときに，点 \mathrm{P} が原点にもどっている確率を求めよ。
(3) n を 3 で割り切れない正の整数とする。試行 (*) を n 回繰り返したときに，点 \mathrm{P} が原点にもどっている確率を求めよ。
表なら +1 動く。裏ならさいころの目で分かれ、奇数で +1、偶数で -2 です。
+1 動くのは、表のときと、裏に続いて奇数の目が出たとき。確率はこの 2 つの和になる。
\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{6} = \dfrac{3}{4}
-2 動くのは裏に続いて偶数の目が出たときで、確率は \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{4}。どの回の試行も、それまでの結果によらずこの確率で動きます。
3 回の動きの和が 0 になるのは、+1 の 2 回と -2 の 1 回を組み合わせた場合だけです。-2 を含まなければ和は 3、2 回以上含めば負になる。
並びは -2 を何回目に置くかで決まり、3 通りある。どれも確率は \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{4} だから、(1) の確率は次の値になる。
_3\mathrm{C}_1 \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{27}{64}
+1 の回数を x、-2 の回数を y とすると、回数の和と位置の条件から次の 2 つの式が成り立ちます。
x + y = 6
x - 2y = 0
連立して解くと x = 4、y = 2。-2 を置く 2 回の選び方は _6\mathrm{C}_2 = 15 通りあり、並びごとの確率 \left(\dfrac{3}{4}\right)^4\left(\dfrac{1}{4}\right)^2 を 15 倍したものが (2) の確率です。
15 \cdot \dfrac{3^4}{4^6} = \dfrac{1215}{4096}
n 回のうち -2 が m 回なら、+1 は n - m 回で、点 \mathrm{P} の位置は次の値です。
(n - m) - 2m = n - 3m
位置が 0 になるのは n = 3m のときで、n は 3 の倍数に限られる。3 で割り切れない n では点 \mathrm{P} は原点にもどらず、(3) の確率は 0 です。