赤玉 4 個と白玉 5 個の入った，中の見えない袋がある。玉はすべて，色が区別できる他には違いはないものとする。\mathrm{A}，\mathrm{B} の 2 人が，\mathrm{A} から交互に，袋から玉を 1 個ずつ取り出すゲームを行う。ただし取り出した玉は袋の中に戻さない。\mathrm{A} が赤玉を取り出したら \mathrm{A} の勝ちとし，その時点でゲームを終了する。\mathrm{B} が白玉を取り出したら \mathrm{B} の勝ちとし，その時点でゲームを終了する。袋から玉がなくなったら引き分けとし，ゲームを終了する。
(1) このゲームが引き分けとなる確率を求めよ。
(2) このゲームに \mathrm{A} が勝つ確率を求めよ。
ゲームが途中で終わったあとも、残りの玉を交互に取り出し続けたことにします。勝ち負けはそれより前に決まっているため、続きを取り出しても結果は変わらない。
こうすると 9 個の玉が取り出した順に 1 列に並びます。\mathrm{A} の番は 1, 3, 5, 7, 9 番目、\mathrm{B} の番は 2, 4, 6, 8 番目。
玉を 1 個ずつ区別すると、取り出す順は 9! 通りあり、どれも同様に確からしい。色だけを見た並びは赤玉の位置 4 か所の選び方で決まり、_9\mathrm{C}_4 = 126 通りあります。
どの色の並びにも、赤玉どうし、白玉どうしの並べかえで 4! \times 5! 通りの順が対応します。だから色の並び 126 通りも同様に確からしく、確率は並びの数を 126 で割って求められる。
勝ち負けは、前から見て最初に \mathrm{A} の番の赤玉か \mathrm{B} の番の白玉が現れたところで決まる。どちらも現れなければ引き分けです。
引き分けになるのは、\mathrm{A} の番にすべて白玉、\mathrm{B} の番にすべて赤玉が並ぶときです。
\mathrm{A} の番は 5 回、\mathrm{B} の番は 4 回で、白玉 5 個、赤玉 4 個とちょうど同じ数。色の並びは白、赤、白、赤、白、赤、白、赤、白の 1 通りに決まり、引き分けの確率は \dfrac{1}{126} です。
取り出すたびの確率をかけ合わせても、同じ値になる。
\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{1}{126}
分母は袋に残っている玉の数で、9 から 1 ずつ減っていく。分子は、引き分けの並びでその回に取り出す色の玉が、袋にいくつ残っているかを表します。
\mathrm{A} が勝つのは、白、赤、白、赤、…と交互に続いたあと、\mathrm{A} の番である奇数番目に赤玉を取り出したときです。
9 番目で勝つ並びはありません。それより前に \mathrm{B} が 4 個の赤玉をすべて取り出していて、袋に赤玉は残っていないため。
勝ちが決まるところまでの先頭の並びを除くと、残りの場所の並べ方は、赤玉の位置の選び方の数だけある。
先頭が赤の並びは _8\mathrm{C}_3 = 56 通り、白、赤、赤で始まる並びは _6\mathrm{C}_2 = 15 通りです。
白、赤、白、赤、赤で始まる並びは _4\mathrm{C}_1 = 4 通り、白、赤、白、赤、白、赤、赤で始まる並びは残り 2 か所がどちらも白の 1 通り。
合わせて 56 + 15 + 4 + 1 = 76 通りあり、\mathrm{A} が勝つ確率は \dfrac{76}{126} = \dfrac{38}{63} です。
\mathrm{B} が勝つ並びも同じように数えられます。2 番目で勝つのは白、白で始まる _7\mathrm{C}_4 = 35 通り、4 番目で勝つのは白、赤、白、白で始まる _5\mathrm{C}_3 = 10 通り。
6 番目で勝つ並びは _3\mathrm{C}_2 = 3 通り、8 番目で勝つ並びは 1 通りで、\mathrm{B} の勝ちは合わせて 49 通りになる。
\mathrm{A} の勝ち 76 通り、\mathrm{B} の勝ち 49 通り、引き分け 1 通りを足すと 126 通りで、色の並びの総数と一致します。