\alpha，\beta を複素数とし，複素数 z に対して，f(z) = z^2 + \alpha z + \beta とおく。\alpha，\beta は |f(1) - 3| \leqq 1 かつ |f(i) - 1| \leqq 3 を満たしながら動く。ただし，i は虚数単位である。
(1) f(1 + i) がとりうる値の範囲を求め，複素数平面上に図示せよ。
(2) f(1 + i) = 0 であるとき，\alpha，\beta の値を求めよ。
条件の形に合わせて u = f(1) - 3、v = f(i) - 1 とおく。条件は |u| \leqq 1 かつ |v| \leqq 3 です。
f(1) = 1 + \alpha + \beta、f(i) = -1 + \alpha i + \beta だから、\alpha、\beta は次の連立方程式を満たす。
\begin{aligned} \alpha + \beta &= u + 2 \\ \alpha i + \beta &= v + 2 \end{aligned}
上の式から下の式を引くと (1 - i)\alpha = u - v で、\alpha が決まれば \beta も決まる。円板の中のどの u、v にも合う \alpha、\beta がちょうど 1 組あり、u と v は図の 2 つの円板の中をそれぞれ自由に動けます。
(1 + i)^2 = 2i だから f(1 + i) = 2i + (\alpha + \beta) + \alpha i で、\alpha + \beta は u + 2 に置きかえられる。
\alpha i は、\alpha = \dfrac{u - v}{1 - i} に i をかけて求めます。
\alpha i = \dfrac{i}{1 - i}(u - v) = \dfrac{-1 + i}{2}(u - v)
2i + (u + 2) + \dfrac{-1 + i}{2}(u - v) を u、v ごとに整理する。
f(1 + i) = 2 + 2i + \dfrac{1 + i}{2}u + \dfrac{1 - i}{2}v
u、v の係数の絶対値は、どちらも \dfrac{|1 \pm i|}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} です。
u が |u| \leqq 1 を動くと、\dfrac{1 + i}{2}u は原点を中心とする半径 \dfrac{\sqrt{2}}{2} の円板全体を動く。\dfrac{1 - i}{2}v が動くのは、同じく原点を中心とする半径 \dfrac{3\sqrt{2}}{2} の円板です。
w = f(1 + i) とおくと、三角不等式から次の式が成り立つ。
|w - (2 + 2i)| \leqq \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{3\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
逆に |c| \leqq 2\sqrt{2} の複素数 c は、\dfrac{c}{4} と \dfrac{3c}{4} に分ければ 2 つの円板の点の和になる。|w - (2 + 2i)| \leqq 2\sqrt{2} を満たす w はどれも、合う \alpha、\beta をとれば f(1 + i) の値にできます。
求める範囲は、中心 2 + 2i、半径 2\sqrt{2} の円の周と内部。中心から原点までの距離も 2\sqrt{2} で、この円は原点を通る。
w = 0 は円周上の点で、|w - (2 + 2i)| = 2\sqrt{2} になるのは三角不等式の等号が成り立つときに限られる。|u| = 1、|v| = 3 で、2 つの項がどちらも中心から原点の方向を向くときです。
その方向は -(1 + i) で、長さ \dfrac{\sqrt{2}}{2}、\dfrac{3\sqrt{2}}{2} に合わせると次の 2 式になる。
\dfrac{1 + i}{2}u = -\dfrac{1 + i}{2}、\dfrac{1 - i}{2}v = -\dfrac{3(1 + i)}{2}
1 つ目から u = -1、2 つ目から v = -\dfrac{3(1 + i)}{1 - i} = -3i。\alpha = \dfrac{u - v}{1 - i} と \beta = u + 2 - \alpha に代入します。
\alpha = \dfrac{-1 + 3i}{1 - i} = -2 + i、\beta = 3 - i