xy 平面において，2 点 \mathrm{B}(-\sqrt{3}, -1)，\mathrm{C}(\sqrt{3}, -1) に対し，点 \mathrm{A} は次の条件 (*) を満たすとする。
(*) \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3} かつ点 \mathrm{A} の y 座標は正
次の各問いに答えよ。
(1) \triangle \mathrm{ABC} の外心の座標を求めよ。
(2) 点 \mathrm{A} が条件 (*) を満たしながら動くとき，\triangle \mathrm{ABC} の垂心の軌跡を求めよ。
\mathrm{BC} = 2\sqrt{3} です。外接円の半径を R とすると、正弦定理から次の式が成り立つ。
2R = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sin\dfrac{\pi}{3}} = 4
R = 2 は \mathrm{A} の位置によらず一定。外心は \mathrm{B}、\mathrm{C} から等しい距離にあるため、線分 \mathrm{BC} の垂直二等分線である y 軸の上にあります。
外心を (0, k) とおくと、\mathrm{B} までの距離が 2 だから 3 + (k + 1)^2 = 4 で、k = 0 または k = -2 です。
中心 (0, -2)、半径 2 の円の上の点は、y 座標が -4 以上 0 以下。y 座標が正の \mathrm{A} はこの円にのらないため、外心は原点 \mathrm{O}(0, 0) です。
逆に、円 x^2 + y^2 = 4 の y > 0 の部分にある点 \mathrm{A} は、直線 \mathrm{BC} に関して \mathrm{O} と同じ側にある。\vec{\mathrm{OB}} \cdot \vec{\mathrm{OC}} = -3 + 1 = -2、|\vec{\mathrm{OB}}| = |\vec{\mathrm{OC}}| = 2 より \cos\angle \mathrm{BOC} = -\dfrac{1}{2} で、\angle \mathrm{BOC} = \dfrac{2\pi}{3}。
円周角の定理から、そのような \mathrm{A} では \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3} が成り立ちます。条件 (*) を満たす \mathrm{A} がとりうる位置は、円 x^2 + y^2 = 4 のうち y > 0 の部分と一致する。
\mathrm{A}(p, q) とおくと p^2 + q^2 = 4、q > 0 です。\mathrm{BC} は x 軸に平行だから、\mathrm{A} から \mathrm{BC} への垂線は直線 x = p で、垂心 \mathrm{H} はこの上にある。\mathrm{H}(p, h) とおきます。
\mathrm{H} は \mathrm{B} から \mathrm{AC} への垂線の上にもあるため、\vec{\mathrm{BH}} \cdot \vec{\mathrm{AC}} = 0 です。
(p + \sqrt{3})(\sqrt{3} - p) - (h + 1)(q + 1) = 0
(p + \sqrt{3})(\sqrt{3} - p) = 3 - p^2 に p^2 = 4 - q^2 を代入すると q^2 - 1 になり、上の式は次のように書けます。
(q - 1)(q + 1) = (h + 1)(q + 1)
q + 1 > 0 で両辺を割ると h + 1 = q - 1 で、h = q - 2 となる。\mathrm{H}(p, q - 2) は、\mathrm{A} を y 軸の負の向きに 2 だけ平行移動した点です。
\mathrm{H} の座標を (x, y) とすると p = x、q = y + 2 です。p^2 + q^2 = 4 と q > 0 に代入すると、次の 2 つになる。
x^2 + (y + 2)^2 = 4, \quad y > -2
\mathrm{A} が円 x^2 + y^2 = 4 の y > 0 の部分を動くとき、\mathrm{H} はそれを 2 だけ下へ平行移動した弧を動きます。求める軌跡は、中心 (0, -2)、半径 2 の円の y > -2 の部分で、両端の (2, -2)、(-2, -2) は含まない。
この円は、(1) で外心の候補から外した中心 (0, -2) の円そのもので、\mathrm{B} と \mathrm{C} を通ります。