広義積分

積分の区間が無限に伸びていても、面積が有限に収まることがあります¹。 $y = \dfrac{1}{x^2}$ と $y = \dfrac{1}{x}$ を $1$ から先へ積分して比べます。

収束する場合

無限の区間は極限で定義します。まず有限の $b$ まで積分し、それから $b \to \infty$ とします。

\int_1^b \frac{dx}{x^2} = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = 1 - \frac{1}{b} \longrightarrow 1

面積は $1$ に収まります。区間はいくらでも伸びますが、曲線の下がり方が速いので、増える分がどこまでも小さくなっていきます。

\int_1^b \frac{dx}{x} = \left[ \log x \right]_1^b = \log b \longrightarrow \infty

面積は無限に増えます。 $\log b$ の増え方はゆっくりですが、止まりません。

$y = \dfrac{1}{x^p}$ の $1$ から $\infty$ までの積分は、 $p$ で運命が分かれます。

$p$ の範囲	結果
$p > 1$	収束
$p \leq 1$	発散

グラフではどちらも $x$ 軸に近づいていくのに、収束するかどうかが分かれます。近づき方の速さが問題なのです。

積分する範囲が有限でも、関数が発散する端では同じあつかいになります。

積分	結果
$\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{x}}$	$2$ （収束）
$\int_0^1 \dfrac{dx}{x}$	発散

どちらの型でも、まず端を避けて積分し、そのあとで端へ近づける極限をとります。極限が有限なら収束、そうでなければ発散です。

グラフの急に下がる曲線が $y = \dfrac{1}{x^2}$ 、ゆるやかな曲線が $y = \dfrac{1}{x}$ で、大きな点は $2$ つの曲線が出会う $(1, 1)$ です。