区分求積法

定積分は、細い長方形の面積を足し上げた極限として定義されます¹。 $f(x) = x^2$ の $0$ から $2$ までで確かめます。

左端で作る和

区間を幅 $\dfrac{1}{4}$ で $8$ 等分し、各区間の左端の値を高さにした長方形を並べます。

\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{7} \left( \frac{k}{4} \right)^2 = \frac{1}{64} (0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49) = \frac{35}{16}

$\dfrac{35}{16} = 2.1875$ で、真の値 $\dfrac{8}{3} \approx 2.6667$ より小さいです。左端の高さを使ったので、増加する関数では低く見積もることになります。

$2$ つの差は $1$ で、これは端の高さの差 $f(2) - f(0) = 4$ に幅 $\dfrac{1}{4}$ を掛けた値です。真の値は必ずこの $2$ つの間にあります。

$n$ 等分の左端の和は次のようになります。

\begin{align*} \frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{2k}{n} \right)^2 &= \frac{8}{n^3} \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \\ &\longrightarrow \frac{8}{3} \quad (n \to \infty) \end{align*}

これが定積分の値です。

区間 $[a, b]$ を $n$ 等分して幅を $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$ とすると、和の極限が定積分になります。

\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k \Delta x) \, \Delta x

面積の計算に見えて、実際には足し算の極限です。だから掛けて足す形の量はすべて定積分で書けます。

グラフの放物線が $y = x^2$ 、階段状の線が幅 $\dfrac{1}{4}$ の長方形の高さで、大きな点は区間の両端です。