微分できない点

連続でも微分できない点があります¹。 $f(x) = |x|$ の原点がその例です。

極限が存在しない

微分係数は平均変化率の極限として定義されます。 $x = 0$ では次の極限を見ることになります。

\lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}

近づき方	$\dfrac{\|h\|}{h}$
$h > 0$	$1$
$h < 0$	$-1$

右から近づけたときと左から近づけたときで値が違うので、この極限は存在しません。

$|x|$ は $x > 0$ では $y = x$ 、 $x < 0$ では $y = -x$ という $2$ 本の直線です。原点でつながってはいますが、傾きが食い違います。グラフが尖っているのはこのためです。

$|x|$ は原点で切れ目なくつながっているので連続ですが、傾きが決まらないので微分できません。逆向きは成り立ち、微分できる点では必ず連続です。

この区別は最大・最小を求めるときに効いてきます。 $|x|$ は $x = 0$ で最小値 $0$ をとりますが、そこで $f' = 0$ にはなっていません。

最大値・最小値の候補は、この $3$ 種類です。

前二つは尖った形、最後は垂直な接線をもつ形で、どれも原点では微分できません。

微分できるかどうかは、グラフを拡大したときに直線に見えるかどうかで見分けられます。 $y = x^2$ の原点は拡大するほど直線に近づきますが、 $|x|$ の原点はどこまで拡大しても V 字のままです。

$|x|$ は原点以外では微分でき、 $x > 0$ で $f' = 1$ 、 $x < 0$ で $f' = -1$ です。導関数は $\operatorname{sgn} x$ にあたる段差のある関数になり、原点だけが定義されません。

絶対値や折れ線を含む関数は、折れ目で区間を分けて考えます。区間の内側では素直に微分でき、折れ目だけを別あつかいにすれば済みます。

グラフの V 字が $y = |x|$ 、 $2$ 本の直線が $y = x$ と $y = -x$ で、大きな点が微分できない $(0, 0)$ です。