曲線の長さ

曲線の長さも定積分で求まります¹。 $y = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ の $0 \leq x \leq 3$ の長さを計算します。

出発点はピタゴラスの定理

曲線を細かく折れ線で置きかえると、 $1$ 本ぶんの長さは $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ です。これを $\Delta x$ でくくると $\sqrt{1 + \left( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2}\,\Delta x$ となり、足し上げて極限をとります。

L = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx

長さの公式は、 $2$ 点間の距離の公式を細切れにして足したものです。

計算する

この関数では $f'(x) = x^{1/2}$ なので $1 + f'(x)^2 = 1 + x$ と、根号の中がきれいになります。

L = \int_0^3 \sqrt{1 + x}\,dx = \left[ \frac{2}{3}(1 + x)^{3/2} \right]_0^3 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}

量	値
曲線の長さ	$\dfrac{14}{3} \approx 4.667$
両端を結ぶ線分	$\sqrt{21} \approx 4.583$

曲線は線分より少しだけ長いことになります。二点を結ぶ最短の道が線分であることの確認にもなっています。

直線で確かめる

$y = x$ では $f' = 1$ なので $L = \int_0^a \sqrt{2}\,dx = \sqrt{2}\,a$ です。原点から $(a, a)$ までの距離と一致します。公式は当たり前の値をきちんと返します。

計算が難しくなる場合

曲線	長さの積分	結果
$y = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$	$\int\sqrt{1+x}\,dx$	初等的に解ける
$y = x^2$	$\int\sqrt{1+4x^2}\,dx$	対数を含む形
楕円		初等関数で書けない²

根号の中が $2$ 乗にならない関数では、計算が難しくなります。長さの積分は、面積の積分よりずっと手強い相手です。

円周の長さ

$y = \sqrt{r^2 - x^2}$ では $f' = -\dfrac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}}$ で $\sqrt{1 + f'^2} = \dfrac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}$ です。これを $-r$ から $r$ まで積分すると $\pi r$ となり、上半円の長さとして正しい値です。

グラフの右上へ伸びる曲線が $y = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ 、その上にある曲線が被積分関数 $y = \sqrt{1 + x}$ で、大きな点は両端です。

Arc length、Wikipedia
Elliptic integral、Wikipedia