増減表とグラフの形

増減表は、導関数の符号を区間ごとに並べたものです。 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ で作ります。

導関数の符号

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$ なので、 $f' = 0$ となるのは $x = 1$ と $x = 3$ です。この $2$ 点で数直線を $3$ つに分け、符号を調べます。

範囲	$(x-1)$	$(x-3)$	$f'$	増減
$x < 1$	負	負	正	増加
$1 < x < 3$	正	負	負	減少
$x > 3$	正	正	正	増加

$x$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	増加	極大 $4$	減少	極小 $0$	増加

増加から減少へ変わる $x = 1$ で極大、減少から増加へ変わる $x = 3$ で極小です。値は $f(1) = 4$ 、 $f(3) = 0$ になります。

$f(x) = x(x - 3)^2$ と因数分解できるので、 $x$ 軸との交点は $x = 0$ と $x = 3$ です。 $x = 3$ は重解なので、そこではグラフが $x$ 軸に接します。極小値がちょうど $0$ であることと、これは同じことを言っています。

左から上がってきて $(1, 4)$ で折り返し、 $(3, 0)$ で $x$ 軸に触れてから再び上がっていきます。 $x \to -\infty$ で $f \to -\infty$ 、 $x \to \infty$ で $f \to \infty$ なので、 $3$ 次関数の典型的な形です。

$f'$ は下に凸の放物線で、 $x = 1$ と $x = 3$ で $x$ 軸を横切ります。この $2$ 点の間だけ $f'$ が負になり、そこが $f$ の減少する区間です。 $f'$ の頂点は $x = 2$ で、 $f'(2) = -3$ が傾きの最小値になります。

$3$ 次関数のグラフは、極大点と極小点の中点にあたる変曲点について点対称です。この関数では $\left(\dfrac{1 + 3}{2}, \dfrac{4 + 0}{2}\right) = (2, 2)$ がその中心です。

極値になるかどうかは $f'$ の符号の変化で決まります。 $f' = 0$ でも符号が変わらなければ極値ではありません。増減表を書く手間は、この符号の変化を見落とさないためのものです。

グラフの $3$ 次曲線が $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ 、放物線が導関数で、大きな点は極大点 $(1, 4)$ と極小点 $(3, 0)$ です。