y = e^{-|x|}

両側指数関数 $y = e^{-|x|}$ のグラフ

$y = e^{-|x|}$ は、指数関数の減衰を左右対称にした関数です。両側指数関数とも呼ばれ、 $\dfrac{1}{2}$ を掛けたものが確率論のラプラス分布の密度になります¹。ガウス関数 $y = e^{-x^2}$ と並べると、山の形と裾の重さの違いがよく見えます。

定義域と値域

定義域はすべての実数
値域は $0 < y \leq 1$
最大値 $1$ を $x = 0$ でとる
偶関数

対称性

$f(-x) = f(x)$ より偶関数で、 $y$ 軸に関して対称です。 $x \geq 0$ では $e^{-x}$ 、 $x \leq 0$ では $e^{x}$ という、二本の指数曲線を貼り合わせた形になっています。

原点の角

貼り合わせの継ぎ目にあたる原点では、左右の微分係数が一致しません。

近づき方	微分係数
右から	$-1$
左から	$+1$

したがって原点では微分できず、グラフはとがった角になります。ガウス関数がなめらかな丸い頂上をもつのとは対照的です。

増減と凹凸

$x > 0$ では $y' = -e^{-x} < 0$ で減少、 $x < 0$ では $y' = e^{x} > 0$ で増加します。二階導関数は $x \neq 0$ で $y'' = e^{-|x|} > 0$ なので両側とも下に凸で、変曲点はありません。 $x \to \pm\infty$ で $y \to 0$ となり、 $x$ 軸が水平漸近線です。

ガウス関数との比較

二つのグラフは $x = 0$ と $x = \pm 1$ で交わります。 $e^{-|x|} = e^{-x^2}$ から $|x| = x^2$ が出るからで、交点での値はどちらも $\dfrac{1}{e} \approx 0.368$ です。

$x$	$e^{-\|x\|}$	$e^{-x^2}$
$0.5$	$\approx 0.6065$	$\approx 0.7788$
$1$	$\approx 0.3679$	$\approx 0.3679$
$2$	$\approx 0.1353$	$\approx 0.0183$
$3$	$\approx 0.0498$	$\approx 0.000123$

$|x| < 1$ ではガウス関数が上、 $|x| > 1$ では両側指数関数が上にきます。つまりガウス関数のほうが中央がふくらみ、両側指数関数のほうが裾が重いということです。 $x = 3$ では $400$ 倍以上の開きがあります。

ラプラス分布

全区間の積分が $2$ なので、 $\dfrac{1}{2}e^{-|x|}$ が確率密度になります。これが標準的なラプラス分布です。

量	値
平均	$0$
分散	$2$
平均絶対偏差	$1$

独立な二つの指数分布の差がこの分布に従うことも知られています。

フーリエ変換

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}e^{-i\omega x}\,dx = \frac{2}{1+\omega^2}

移った先はアニェージの曲線の形です。角をもつ裾の重い山が、なめらかな有理関数へ変換されるという対応になっています。

応用

統計では、分散ではなく平均絶対偏差を固定したときに最大エントロピーとなる分布がラプラス分布です。分散を固定したときの最大エントロピー分布がガウス分布であることと対をなしています。

機械学習では、係数にラプラス分布の事前分布を置くことが $L^1$ 正則化に対応します。原点の角が効いて多くの係数がちょうど $0$ になる、いわゆるスパースな解が得られるのはこのためです。

Laplace distribution、Wikipedia

両側指数関数 y=e−∣x∣y = e^{-|x|}y=e−∣x∣ のグラフ