部分積分

積の微分を逆向きに使うのが部分積分です¹。 $\int xe^{-x}\,dx$ で確かめます。

公式

\int f g'\,dx = fg - \int f' g\,dx

積の微分 $(fg)' = f'g + fg'$ の両辺を積分して移項すると出てきます。右辺に残る積分が、もとより簡単になるように $f$ と $g'$ を選びます。

$f = x$ 、 $g' = e^{-x}$ とすると $f' = 1$ 、 $g = -e^{-x}$ なので、次のようになります。

\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -(x + 1)e^{-x} + C

微分して確かめると $-e^{-x} + (x + 1)e^{-x} = xe^{-x}$ で、もとに戻ります。

選び方	残る積分	結果
$f = x$ 、 $g' = e^{-x}$	$\int e^{-x}dx$	簡単になる
$f = e^{-x}$ 、 $g' = x$	$\int \dfrac{x^2}{2}e^{-x}dx$	次数が上がる

微分して簡単になる側を $f$ に置くのが要領です。

$x \to \infty$ で $-(x + 1)e^{-x} \to 0$ なので、次のようになります。

\int_0^{\infty} xe^{-x}\,dx = 0 - (-1) = 1

これは指数分布の平均が $1$ であることを意味します。

$\int \log x\,dx$ は $f = \log x$ 、 $g' = 1$ として $x\log x - \int 1\,dx = x\log x - x$ です。積の形に見えなくても、 $1$ を掛けたと見れば部分積分が使えます。

$\int e^x \sin x\,dx$ は $2$ 回の部分積分でもとの積分が右辺に現れます。方程式として解くと次のようになります。

\int e^x \sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C

堂々めぐりに見えて、実は解ける形になっているという珍しい型です。

グラフの山なりの曲線が $y = xe^{-x}$ 、下から $0$ へ近づく曲線が原始関数 $y = -(x + 1)e^{-x}$ で、大きな点は極大点と $(0, -1)$ です。