関数 $y = x + \sin x$ のグラフ

$y = x + \sin x$ は、直線に波を重ねた関数です。導関数が $0$ になる点をもちながら極値をひとつももたない例として、微分の学習でよく取り上げられます。

定義域と対称性

定義域も値域もすべての実数です。$f(-x) = -x - \sin x = -f(x)$ より奇関数で、グラフは原点に関して点対称です。

増減

導関数は次のとおりです。

$\cos x \geq -1$ なのでつねに $y' \geq 0$ となり、この関数は単調に増加します。$y' = 0$ となるのは $\cos x = -1$、すなわち $x = (2n+1)\pi$ のときですが、それは孤立した点なので増加は止まりません。

導関数が $0$ でも極値とはかぎらないことを、この関数ははっきり示しています。$x = \pi$ の前後でも値は増え続け、接線だけが一瞬だけ水平になります。

変曲点

二階導関数は $y'' = -\sin x$ で、$x = n\pi$ ごとに符号が変わります。したがって変曲点は $x = n\pi$ にあり、そこでの値は $y = n\pi + \sin n\pi = n\pi$ です。つまりすべての変曲点 $(n\pi, n\pi)$ が直線 $y = x$ の上に並びます。

$\pi$ の奇数倍では接線が水平になり、偶数倍では接線の傾きが $2$ になるので、水平な変曲点と傾いた変曲点が交互に現れます。

通る点

整数 $n$ に対して $x = n\pi$ の点はすべて $(n\pi, n\pi)$ になります。

直線 $y = x$ との関係

$y - x = \sin x$ ですから、グラフは直線 $y = x$ のまわりを振幅 $1$ で上下しながら進み、$x = n\pi$ ごとにこの直線と交わります。

ただし差が $0$ に収束しないので、$y = x$ は漸近線ではありません。あくまで振動の中心線です。$y = x + \dfrac{1}{x}$ のように差が消えていく斜め漸近線との違いが、はっきり見える例になっています。

逆関数

連続で狭義単調増加、しかも値域が実数全体ですから、逆関数が実数全体で定義されます。ただし $y' = 0$ となる $x = (2n+1)\pi$ に対応する点では、逆関数のグラフの接線が垂直になります。

関連する曲線

符号を変えた $y = x - \sin x$ は、この曲線を平行移動しただけの同じ形です。そちらはサイクロイドの $x$ 座標として現れます¹。

応用

ケプラー方程式 $M = E - e\sin E$ は、離心率 $e$ が $1$ に近い軌道でちょうどこの形に近づきます²。天体の位置を時刻から求めるには、単調でありながら傾きが $0$ になる点をもつこの関数を数値的に解くことになり、そこが計算上の難所として知られています。

1. Cycloid、Wikipedia
2. Kepler's equation、Wikipedia