台形公式

原始関数が求まらない積分は、数値で近似します。短冊の代わりに台形を並べるのが台形公式です¹。 $f(x) = x^2$ の $0$ から $2$ までで精度を見ます。

$2$ 等分で試す

台形の面積は上底と下底の平均に幅を掛けたものです。

\frac{f(0) + f(1)}{2} \times 1 + \frac{f(1) + f(2)}{2} \times 1 = \frac{0 + 1}{2} + \frac{1 + 4}{2} = 3

真の値は $\dfrac{8}{3} \approx 2.667$ なので、誤差は $\dfrac{1}{3}$ です。

両端だけ半分の重みをつけた和になります。

\int_a^b f(x)\,dx \approx h \left( \frac{f_0}{2} + f_1 + \cdots + f_{n-1} + \frac{f_n}{2} \right)

これは左端で作った和と右端で作った和の平均でもあります。

低く見積もる近似と高く見積もる近似を足して $2$ で割った形です。

分割	$h$	近似値	誤差
$2$ 等分	$1$	$3$	$\dfrac{1}{3}$
$4$ 等分	$0.5$	$2.75$	$\dfrac{1}{12}$

$h$ を半分にすると誤差が $4$ 分の $1$ になり、誤差が $h^2$ に比例することが読み取れます。区分求積法の誤差は $h$ に比例するので、台形公式のほうが速く縮みます。

関数の凹凸	台形公式の見積もり
下に凸	高く出る
上に凸	低く出る

台形の上辺が曲線より上にあるか下にあるかで決まります。凸凹の向きを知っていれば、誤差の向きも分かります。

直線ではなく放物線で近似します。 $3$ 点ずつ放物線で結ぶと誤差が $h^4$ に比例するシンプソン則になり、同じ $4$ 等分で $\dfrac{8}{3}$ を誤差なしに再現します²。 $2$ 次関数は放物線で完全に表せるからです。

グラフのなめらかな曲線が $y = x^2$ 、折れ線が台形の上辺をつないだ近似で、大きな点は分点です。