台形の面積

$1$ 組の対辺が平行な四角形を台形といいます¹。頂点 $A(0, 0)$ 、 $B(6, 0)$ 、 $C(5, 4)$ 、 $D(1, 4)$ の台形で面積を求めます。

公式

辺 $AB$ は $y = 0$ 、辺 $DC$ は $y = 4$ で、どちらも $x$ 軸に平行です。長さは $AB = 6$ 、 $DC = 4$ 、 $2$ 本の直線の間隔が高さ $4$ です。

S = \frac{(a + b)h}{2} = \frac{(6 + 4) \times 4}{2} = 20

この公式は、同じ台形をもう $1$ つ逆さにして横に並べると分かります。 $2$ つ合わせると、上底と下底の和を底辺にもつ平行四辺形になり、その面積は $(a + b)h$ です。台形はそのちょうど半分です。

平行でない $2$ 辺の中点を結んだ線分を中位線といいます。

中点	座標
$AD$ の中点	$(0.5, 2)$
$BC$ の中点	$(5.5, 2)$

長さは $5$ で、これは $\dfrac{a + b}{2} = \dfrac{6 + 4}{2} = 5$ と一致します。中位線を $m$ とすれば $S = mh = 5 \times 4 = 20$ で、台形を「幅が中位線の長方形」に置きかえたことになります。

$A \to B \to C \to D$ とたどると $0 + 24 + 16 + 0 = 40$ で、その半分の $20$ になります。

$AC$ と $BD$ は点 $(3, 2.4)$ で交わり、この点は $AC$ を $A$ から $AB : DC = 3 : 2$ に内分します。上底と下底の比が、そのまま対角線の内分比になります。

$\triangle ABD$ と $\triangle ABC$ は、底辺 $AB$ と高さ $4$ が共通なので面積が等しく、どちらも $\dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ です。平行な $2$ 辺の間では、頂点をどこに置いても三角形の面積が変わりません。

台形の公式は、この $2$ つをつなぐ形をしています。

グラフの $4$ 本の直線が $4$ 辺、 $y = 2$ が中位線を含む直線で、大きな点は $4$ 頂点と中位線の両端です。