対数を面積で定義する

対数は、指数の逆として導入しなくても定義できます¹。 $y = \dfrac{1}{x}$ の下の面積として定めるやり方を見ます。

面積で定義する

$1$ から $x$ までの面積を $L(x)$ とします。

L(x) = \int_1^x \frac{dt}{t}

微分積分学の基本定理から $L'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ なので、 $L$ は単調に増える関数です。

鍵になるのは $\dfrac{1}{t}$ の形がもつ拡大縮小への強さです。 $t = as$ と置きかえると $\dfrac{dt}{t} = \dfrac{ds}{s}$ になります。

\int_a^{ab} \frac{dt}{t} = \int_1^{b} \frac{ds}{s}

区間を $a$ 倍に伸ばしても面積が変わらないということです。これを使うと $L(ab) = L(a) + L(b)$ が出ます。積が和に変わる、対数の性質そのものです。

$L(x) = 1$ となる $x$ を $e$ と呼ぶ、という定め方です。面積がちょうど $1$ になるところまで進んだ位置が $e \approx 2.71828$ で、 $\int_1^e \dfrac{dt}{t} = 1$ です。

$L$ の逆関数を $E$ とすると、 $L'(x) = \dfrac{1}{x}$ から逆関数の微分で $E'(y) = E(y)$ 、つまり微分しても変わらない関数です。指数と対数のどちらを先に置いても、同じ $2$ つが出てきます。

出発点	定義するもの	次に出るもの
$a^x$ を先に置く	指数関数	逆関数として対数
$\int \dfrac{dt}{t}$ を先に置く	対数	逆関数として指数

$a^x$ の意味を無理数の指数まで広げる作業を先にしなくてよいことです。 $\dfrac{1}{x}$ の積分という素朴な量から出発して、対数、 $e$ 、指数関数の順に組み立てられます。

グラフの双曲線が $y = \dfrac{1}{x}$ 、ゆるやかに増える曲線が面積を表す $y = \log x$ で、大きな点は面積が $0$ の $(1, 0)$ と、面積が $1$ になる $(e, 1)$ です。