定積分と面積

定積分は、曲線と xx 軸で囲まれた部分の面積を与えます1。f(x)=x2f(x) = x^2 の 00 から 22 までで計算します。

原始関数を探す

微分して x2x^2 になる関数を探すと F(x)=x33F(x) = \dfrac{x^3}{3} が見つかります。実際 F′(x)=x2F'(x) = x^2 です。

∫02x2 dx=[x33]02=83−0=83\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}

面積は 83≈2.667\dfrac{8}{3} \approx 2.667 です。0≤x≤20 \leq x \leq 2、0≤y≤40 \leq y \leq 4 の長方形の面積が 88 なので、放物線の下側はそのちょうど 13\dfrac{1}{3} を占めることになります。

積分定数は消える

原始関数は 11 つに決まりません。x33+5\dfrac{x^3}{3} + 5 でも微分すれば x2x^2 です。しかし定積分では上端と下端の差をとるので、定数は打ち消えて答えは変わりません。だから原始関数はどれを選んでもかまいません。

向きと分割

性質式
上下を入れ替える∫20x2dx=−83\int_2^0 x^2 dx = -\dfrac{8}{3}
区間を切る∫02=∫01+∫12\int_0^2 = \int_0^1 + \int_1^2
実際の値13+73=83\dfrac{1}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{8}{3}

定積分は「向きつきの面積」で、左から右へ進むときを正とします。

負の値をとる区間

ff が負の値をとる区間では、定積分も負になります。面積として欲しいときは、xx 軸より下の部分に符号をつけ直す必要があります。この関数は x2≥0x^2 \geq 0 なので、その心配はありません。

設定パネルの定積分を有効にして下限を 00、上限を 22 にすると、いま計算した部分が塗られます。グラフの放物線が y=x2y = x^2 で、大きな点は積分の両端です。

  1. Integral、Wikipedia