関数の平均値

有限個の数の平均は足して個数で割りますが、関数の平均は積分して区間の長さで割ります。 $f(x) = x^2$ の $0 \leq x \leq 2$ での平均値を求めます。

\frac{1}{2 - 0} \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

平均値は $\dfrac{4}{3} \approx 1.333$ です。 $f$ の値は $0$ から $4$ まで動きますが、ならすとこの高さになります。

長方形に置きかえる

面積を保ったまま長方形に置きかえたことになります。

図形	寸法	面積
放物線の下	区間 $[0, 2]$	$\dfrac{8}{3}$
長方形	幅 $2$ 、高さ $\dfrac{4}{3}$	$\dfrac{8}{3}$

曲線の山と谷が、この高さでちょうど埋め合わされます。

$c^2 = \dfrac{4}{3}$ を解くと $c = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$ で、区間の内側にあります。次を満たす $c$ が必ず存在することを、積分の平均値の定理といいます¹。

f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx

連続な関数なら、平均値は最小値と最大値の間にあり、途中の値をすべてとるので、どこかで平均値そのものを通ります。

前の $2$ つの平均をとると $\dfrac{4}{3}$ に戻ります。長さの等しい区間に分けたときは、平均の平均がもとの平均になります。

グラフの放物線が $y = x^2$ 、水平な直線が平均値 $y = \dfrac{4}{3}$ で、大きな点は区間の両端と、平均値をとる点です。