三角関数の定積分

$\sin x$ の原始関数は $-\cos x$ です。それを使って、正弦曲線の $1$ つの山の面積を求めます。

面積は $2$ です。山の高さが $1$、幅が $\pi \approx 3.14$ なので、同じ幅と高さの長方形の面積 $\pi$ に対して $\dfrac{2}{\pi} \approx 0.64$ 倍ということになります。正弦の山は、長方形の $6$ 割ほどを埋めます。

符号に注意

$(-\cos x)' = \sin x$ なので原始関数は $-\cos x$ で、$\cos x$ ではありません。微分のときに $\cos$ から $-\sin$ へ符号がつくことの裏返しです。

$1$ 周期では $0$

$0$ になるのは、$\pi$ から $2\pi$ の谷が $x$ 軸の下にあって、負に数えられるからです。

面積として $4$ を求めたいなら、$|\sin x|$ を積分するか、山 $1$ つ分の $2$ を $2$ 倍します。

原始関数のグラフで読む

$y = -\cos x$ の傾きは、$x = 0$ で $0$、$x = \dfrac{\pi}{2}$ で $1$、$x = \pi$ で $0$ と変わり、これは $\sin x$ の値そのものです。$\sin$ が正の区間で $-\cos$ は増加し、$\sin$ が負の区間で減少します。

$-\cos 0 = -1$ から $-\cos \pi = 1$ までの増加分 $2$ が、そのまま面積になっています。定積分が原始関数の差であることが、$2$ つのグラフの間で見て取れます。

グラフの波が $y = \sin x$、それより $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れた波が原始関数 $y = -\cos x$ で、大きな点は積分の両端です。