四次関数 $y = x^4 - x^2$ のグラフ

$y = x^4 - x^2$ は、$2$ つの谷と中央の山からなる W 字の曲線です。物理では二重井戸ポテンシャルと呼ばれ、対称性の破れを説明する基本の形として現れます。素の $y = x^4$ が谷を $1$ つしかもたないのに対し、$-x^2$ を加えると底が割れて $2$ つになります。

定義域と対称性

定義域はすべての実数です。偶数次の項しかないので偶関数で、グラフは $y$ 軸に関して対称です。

切片

$x^4 - x^2 = x^2(x - 1)(x + 1)$ と因数分解できるので、$x$ 切片は $x = 0$（重解）と $x = \pm 1$（単解）です。原点では $x$ 軸に接し、$\pm 1$ では横切ります。

平方完成による最小値

$x^2$ をひとまとまりと見て平方完成すると、次のように書けます。

右辺の第 $1$ 項は $0$ 以上なので、最小値は $-\dfrac{1}{4}$ で、$x^2 = \dfrac{1}{2}$ すなわち $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のときに実現します。微分を使わずに谷の深さと位置が出るのが、この形のよいところです。

増減と極値

導関数は次のようになります。

$x = 0$ と $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx \pm 0.707$ で $0$ になり、極値は $3$ つです。

値域は $y \geq -\dfrac{1}{4}$ です。中央の山は谷から $\dfrac{1}{4}$ だけ高く、これが $2$ つの谷を隔てる障壁の高さになります。

凹凸

二階導関数は $y'' = 12x^2 - 2$ で、$x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{6}} \approx \pm 0.408$ で符号が変わります。変曲点は $\left( \pm\dfrac{1}{\sqrt{6}}, -\dfrac{5}{36} \right)$ の $2$ つで、そのあいだが上に凸、外側が下に凸です。

$x^2$ の二次関数として見る

$t = x^2$ とおくと、$t$ についての二次関数になります。

頂点は $t = \dfrac{1}{2}$ で値は $-\dfrac{1}{4}$、放物線の谷は $1$ つだけです。ところが $t = x^2$ という対応では、正の $t$ が $2$ つの $x$ に対応します。この折り返しが、$1$ つの谷を $2$ つに分けているのです。偶関数の四次関数が W 字になる仕組みは、すべてこの見方で説明できます。$-x^2$ の係数が正だと頂点が $t < 0$ に移り、$x$ では実現しないので谷は $1$ つのままです。

対称性の破れ

この形が物理で重要なのは、式が左右対称であるのに、いちばん安定な状態は左右どちらかを選ばざるをえないからです。ランダウの理論では自由エネルギーを次のように書きます。

転移温度 $T_c$ より高温では $\varphi^2$ の係数が正で谷は $1$ つ、低温では負になって二重井戸に変わります。強磁性体が冷えると磁化の向きがひとりでに定まる現象が、この谷の分裂にあたります。素粒子物理のヒッグス機構も、同じ形のポテンシャルで説明されます。

量子力学

谷が $2$ つあると、古典的には一方に落ちた粒子は障壁を越えられません。ところが量子力学ではトンネル効果によって $2$ つの谷を行き来でき、その結果いちばん低いエネルギー準位がわずかに $2$ つに分裂します。アンモニア分子の反転がその代表例です。