合成関数の微分

関数の中に関数が入っている形は、合成関数の微分（連鎖律）で微分します¹。 $f(x) = \sin(x^2)$ で確かめます。

公式

外側を内側で微分し、内側を $x$ で微分して掛けます。

\{ g(h(x)) \}' = g'(h(x)) \cdot h'(x)

$g(t) = \sin t$ 、 $h(x) = x^2$ なので $g'(t) = \cos t$ 、 $h'(x) = 2x$ 、したがって次のようになります。

f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)

$\cos(x^2)$ だけでは足りません。内側の微分 $2x$ が必ず掛かります。

グラフを見ると $2x$ の効き方が分かります。 $x$ が大きくなるほど内側の $x^2$ の増え方が速いので、 $\sin(x^2)$ の波は右へ行くほど詰まっていきます。導関数の振幅も $2x$ に比例して大きくなります。

波の間隔は数でも追えます。 $f = 0$ となるのは $x^2 = n\pi$ 、つまり $x = \sqrt{n\pi}$ のときです。

$\sin\left( e^{x^2} \right)$ なら、外から順に $\cos\left( e^{x^2} \right)$ 、 $e^{x^2}$ 、 $2x$ を掛けて $2xe^{x^2}\cos\left( e^{x^2} \right)$ です。

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}

分数のように $dt$ が約分されて見えますが、これは形の上での話で、証明は平均変化率の積として書き直すことで行います。

置換積分は、この規則を逆向きに使ったものです。連鎖律で内側の微分が掛かることを知っていれば、次の積分が読み取れます。

\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C

微分の側で掛かるものを、積分の側では見つけて取り除きます。

グラフの右へ行くほど詰まる波が $y = \sin(x^2)$ 、振幅が大きくなる波が導関数で、大きな点は原点と $\left( \sqrt{\pi}, 0 \right)$ です。