微分で示す不等式

不等式は、差をとって増減を調べれば示せます。 $e^x \geq 1 + x$ を確かめます。

差の増減を調べる

差を $g(x) = e^x - 1 - x$ とおきます。示したいのは、すべての $x$ で $g(x) \geq 0$ となることです。

g'(x) = e^x - 1

$e^x$ は単調に増え、 $x = 0$ で $1$ になります。

範囲	$e^x$	$g'$	$g$ の増減
$x < 0$	$< 1$	負	減少
$x > 0$	$> 1$	正	増加

したがって $g$ は $x = 0$ で最小になり、その値は $g(0) = 0$ です。最小値が $0$ なので $g(x) \geq 0$ 、つまり $e^x \geq 1 + x$ がすべての $x$ で成り立ちます。等号は $x = 0$ のときだけです。

$y = 1 + x$ は $y = e^x$ の $x = 0$ における接線です。 $g''(x) = e^x > 0$ なので $e^x$ は下に凸で、下に凸な関数はどの接線よりも上にあります¹。この不等式はその一例です。

二つ目は対数を上から押さえる形として、よく使われます。

三つ目の両辺を $n$ 乗すると、次が得られます。

e \geq \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

$e$ の定義に現れる数列が $e$ を超えないことが、この $1$ つの不等式から分かります。

$x > 0$ でだけ示したいときは、その範囲の端の値と増減だけを調べれば済みます。不等式の証明が、増減の問題に置きかわります。

グラフの下に凸の曲線が $y = e^x$ 、その接線が $y = 1 + x$ 、 $2$ つの差が $y = e^x - 1 - x$ で、大きな点は接点 $(0, 1)$ と、差が $0$ になる原点です。