逆双曲線余割 $y = \operatorname{arcsch} x$

$\operatorname{arcsch} x$（逆双曲線余割）は、双曲線余割 $\operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x}$ の逆関数です¹。$\operatorname{csch}$ が $x \neq 0$ の各枝を $y \neq 0$ へ単調に写すので、逆関数の定義域も $x \neq 0$、値域も $y \neq 0$ になります。

定義と閉形式

$\operatorname{csch} y = x$ は $\sinh y = \dfrac{1}{x}$ と同じですから、$\operatorname{arcsch} x = \operatorname{arsinh}\dfrac{1}{x}$ です。対数で書くと次のようになります。

$\operatorname{arsinh}$ が実数全体で定義されるので、$\dfrac{1}{x}$ が定まりさえすれば値が決まります。それが定義域 $x \neq 0$ の理由です。

定義域と値域

• 定義域は $x \neq 0$
• 値域は $y \neq 0$
• 各枝で単調に減少する
• 奇関数

対称性と漸近線

$\operatorname{csch}$ が奇関数なので逆関数も奇関数で、グラフは原点に関して点対称です。

$y$ 軸が垂直漸近線、$x$ 軸が水平漸近線です。

増減と凹凸

導関数は $-\dfrac{1}{|x|\sqrt{1+x^{2}}}$ で、定義域上つねに負ですからどちらの枝でも単調に減少します。二階導関数の符号は $x$ と同じで、$x > 0$ では下に凸、$x < 0$ では上に凸となり、変曲点はありません。

発散の遅さ

もとの $\operatorname{csch} x$ が原点付近で $\dfrac{1}{x}$ のように激しく発散したのに対し、逆関数のこちらは $\ln\dfrac{2}{x}$ 程度でしか発散しません。

$\operatorname{arcsch}(0.001) \approx 7.6009$ は $\ln 2000 \approx 7.6009$ と一致します。$x$ を $1000$ 分の $1$ にしても値は $8$ 程度にしかならないわけで、対数の増え方の遅さがそのまま出ています。逆関数をとると発散の激しさが対数に置き換わるという、一般的な事情の具体例になっています。

遠方での振る舞い

$|x|$ が大きいところでは $\dfrac{1}{x}$ が小さくなり、$\operatorname{arsinh} u \approx u$ が使えるので $\operatorname{arcsch} x \approx \dfrac{1}{x}$ となります。

もとの関数と逆関数で、原点付近と遠方の役割がちょうど入れ替わっています。

逆双曲線関数の全体像

これで逆双曲線関数は六つが出そろいます。もとの双曲線関数の値域が、そのまま逆関数の定義域に移ってきています。

接頭辞の ar は area の略で、双曲線扇形の面積を表すことに由来します。三角関数側の arc が円弧の長さを指すのと対をなす名前です。

1. Inverse hyperbolic functions、Wikipedia