置換積分

合成関数の微分を逆向きに使うのが置換積分です¹。 $\int \dfrac{2x}{1 + x^2}\,dx$ で確かめます。

分母を置きかえる

$t = 1 + x^2$ とすると $\dfrac{dt}{dx} = 2x$ 、つまり $dt = 2x\,dx$ です。分子の $2x\,dx$ がそのまま $dt$ に置きかわります。

\int \frac{2x}{1 + x^2}\,dx = \int \frac{dt}{t} = \log|t| = \log\left( 1 + x^2 \right) + C

微分して確かめると、連鎖律から $\left\{ \log\left( 1 + x^2 \right) \right\}' = \dfrac{1}{1 + x^2} \cdot 2x$ で、もとの関数に戻ります。

$x$ が $0$ から $1$ まで動くとき $t$ は $1$ から $2$ まで動きます。

\int_0^1 \frac{2x}{1 + x^2}\,dx = \int_1^2 \frac{dt}{t} = \log 2 \approx 0.693

区間を $t$ の側に直してしまえば、 $x$ に戻す必要はありません。

うまくいく形は限られています。被積分関数が $g(h(x)) \cdot h'(x)$ の形、つまり内側の関数の微分が掛かっている形のときだけです。

係数が合わないときは定数で調整します。 $\int \dfrac{x}{1 + x^2}\,dx$ なら $\dfrac{1}{2}\log\left( 1 + x^2 \right)$ です。足りない $2$ を外に出すだけで済みます。

置換の向きを逆にする使い方もあります。 $\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,dx$ では $x = \sin\theta$ と置いて $dx = \cos\theta\,d\theta$ とします。

\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4}

四分円の面積と一致します。根号を三角関数で消すこの型は、円や楕円に関わる積分でくり返し使われます。

グラフの山なりの曲線が $y = \dfrac{2x}{1 + x^2}$ 、増え続ける曲線が原始関数 $y = \log\left( 1 + x^2 \right)$ で、大きな点は $(1, 1)$ と $(1, \log 2)$ です。