平均値の定理

区間の両端を結んだ割線と平行な接線が、その区間の内側に必ずあります。これが平均値の定理です¹。 $f(x) = x^2$ の区間 $[1, 2]$ で確かめます。

割線の傾き

\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{4 - 1}{1} = 3

$f'(x) = 2x$ なので $f'(c) = 3$ を解いて $c = \dfrac{3}{2}$ です。区間 $1 < c < 2$ の内側にあります。

接点は $\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{9}{4}\right)$ 、接線は $y = 3x - \dfrac{9}{4}$ です。グラフでは割線 $y = 3x - 2$ と平行な直線に見えます。

$f$ が閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能なら、次を満たす $c$ が $a$ と $b$ の間に少なくとも $1$ つあります。

\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)

少なくとも $1$ つなので、 $2$ つ以上あってもかまいません。

$f(a) = f(b)$ の場合が特別な場合です。そのとき右辺は $0$ になり、 $f'(c) = 0$ となる $c$ が区間の内側にあることになります。これをロルの定理といいます²。

条件	結論
一般の $f(a)$ 、 $f(b)$	割線と平行な接線がある
$f(a) = f(b)$	水平な接線がある（ロルの定理）

連続でも微分可能でなければ成り立ちません。 $f(x) = |x|$ を $[-1, 1]$ で見ると、割線の傾きは $0$ ですが、傾き $0$ の接線はどこにもありません。 $x = 0$ で微分できないからです。

平均値の定理は、平均変化率と微分係数を結ぶ橋です。 $f' > 0$ なら関数が増加するという当たり前に見える事実も、 $2$ 点をとって $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) > 0$ とすることで、この定理から証明されます。

グラフの放物線が $y = x^2$ 、 $2$ 点を通る直線が割線、それと平行な直線が接線で、大きな点は $(1, 1)$ 、 $(2, 4)$ と接点です。