関数 $y = \ln|x|$ のグラフ

$y = \ln|x|$ は、対数関数の定義域を負の側へ広げた形です。$\ln x$ が $x > 0$ でしか定義されないのに対し、真数を絶対値にすることで $x = 0$ 以外のすべての実数で値をもつようになります。この一手間が、$\dfrac{1}{x}$ の積分を書くうえで欠かせません。

定義域と値域

定義域は $x \neq 0$、値域はすべての実数です。任意の実数 $y$ に対して $x = \pm e^{y}$ が対応するので、どの値もちょうど $2$ 回ずつとります。

対称性

$f(-x) = \ln|-x| = \ln|x| = f(x)$ より偶関数で、グラフは $y$ 軸に関して対称です。右半分は $y = \ln x$ そのもので、左半分はその鏡像になります。

切片と漸近線

$\ln|x| = 0$ となるのは $|x| = 1$ のときなので、$x$ 切片は $(1, 0)$ と $(-1, 0)$ の $2$ つです。$x \to 0$ では左右どちらから近づいても $-\infty$ に発散するため、$y$ 軸が垂直漸近線になります。

増減と凹凸

導関数は $y' = \dfrac{1}{x}$ です。

偶関数の導関数は奇関数になるという一般則が、そのまま現れています。二階導関数は $y'' = -\dfrac{1}{x^2}$ で、定義域上つねに負ですから両方の枝が上に凸で、変曲点はありません。

$\dfrac{1}{x}$ の原始関数

この関数の要点は次の公式です。

$\dfrac{1}{x}$ は $x < 0$ でも定義されているのに $\ln x$ はそこで定義されないので、絶対値が必要になります。実際 $x < 0$ では $\dfrac{d}{dx}\ln(-x) = \dfrac{-1}{-x} = \dfrac{1}{x}$ となり、負の側でも正しく成り立ちます。

積分定数についての注意

ただし定義域が $x = 0$ で $2$ つに切れているため、原始関数は厳密には $x > 0$ と $x < 0$ で別々の定数をもちます。$\ln|x| + C$ と $1$ つの定数で書くのは、片方の区間だけを考えているときの省略です。区間をまたぐ広義積分 $\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{x}$ が定まらないのも、同じ理由によります。

増え方の遅さ

$|x| \to \infty$ で発散はしますが、その速さは極端に遅く、どんな正のべき $|x|^{a}$ にも追いつけません。$\ln 10^{6} \approx 13.82$ で、$y = 100$ に達するには $|x| = e^{100} \approx 2.7 \times 10^{43}$ が必要です。

応用

• 対数微分法では $\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$ の形で使い、$f$ が負になる区間でもそのまま扱える
• 複素数の対数 $\ln z = \ln|z| + i\arg z$ では、この関数がちょうど実部にあたる
• 二次元のラプラス方程式の基本解が $\ln r$ で、無限に長い直線電荷の電位や二次元の渦の流れがこの形になる