陰関数の微分

$y$ について解かなくても微分できます¹。円 $x^2 + y^2 = 25$ の点 $(3, 4)$ における接線を求めます。

両辺を微分する

$y$ は $x$ の関数なので、 $y^2$ の微分は連鎖律で $2y \dfrac{dy}{dx}$ になります。

\begin{align*} 2x + 2y \frac{dy}{dx} &= 0 \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{x}{y} \end{align*}

$(3, 4)$ を入れると傾きは $-\dfrac{3}{4}$ です。接線は次のようになります。

y = -\frac{3}{4}(x - 3) + 4 = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}

方法	式	扱える範囲
$y$ について解く	$y = \pm\sqrt{25 - x^2}$	上半円と下半円で分ける
陰関数のまま	$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$	$1$ 本で両方

陰関数のまま微分すれば、上下をまとめて扱えます。

中心 $(0, 0)$ から $(3, 4)$ へ引いた半径の傾きは $\dfrac{4}{3}$ 、接線の傾きは $-\dfrac{3}{4}$ で、積は $-1$ です。接線が半径に垂直であるという事実が、式から出てきます。

$y = 0$ の点では使えません。 $(5, 0)$ と $(-5, 0)$ では分母が $0$ になりますが、これは接線が垂直な直線 $x = 5$ 、 $x = -5$ になって傾きをもたないからです。式の破れ方が図形の事情に対応しています。

$y$ について解けない曲線でも、接線だけは求められます。積の形が混ざっても同じで、 $xy = 6$ なら積の微分で $y + x\dfrac{dy}{dx} = 0$ となり、 $y = \dfrac{6}{x}$ を微分した $-\dfrac{6}{x^2}$ と一致します。

グラフの上下 $2$ 本の弧が円 $x^2 + y^2 = 25$ 、直線が接線で、大きな点は接点 $(3, 4)$ と中心 $(0, 0)$ です。