三角形の垂心

各頂点から向かい合う辺へ下ろした垂線は、 $1$ 点で交わります。この点を垂心といいます。頂点 $A(0, 0)$ 、 $B(6, 3)$ 、 $C(2, 6)$ の三角形で求めます。

$3$ 辺の直線

辺	式	傾き
$AB$	$y = \dfrac{x}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$AC$	$y = 3x$	$3$
$BC$	$y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{15}{2}$	$-\dfrac{3}{4}$

垂線を立てる

垂直な $2$ 直線では傾きの積が $-1$ になります。頂点 $C$ から辺 $AB$ へ下ろす垂線は、傾き $\dfrac{1}{2}$ に対して傾き $-2$ で、 $C(2, 6)$ を通るので $y = -2x + 10$ です。

頂点 $B$ からの垂線も同じように求めます。辺 $AC$ の傾き $3$ に対して傾きは $-\dfrac{1}{3}$ 、 $B(6, 3)$ を通るので $y = -\dfrac{x}{3} + 5$ です。 $2$ 本を連立します。

\begin{align*} -2x + 10 &= -\frac{x}{3} + 5 \\ x &= 3, \quad y = 4 \end{align*}

垂心は $H(3, 4)$ です。

$3$ 本目でも確かめる

辺 $BC$ の傾きは $-\dfrac{3}{4}$ なので、頂点 $A$ からの垂線は $y = \dfrac{4}{3}x$ です。 $x = 3$ を入れると $y = 4$ で、やはり $H$ を通ります。 $3$ 本が $1$ 点で交わることは偶然ではなく、どんな三角形でも成り立ちます。

垂線を下ろす頂点	垂線の式	$H$ を通るか
$C$	$y = -2x + 10$	通る
$B$	$y = -\dfrac{x}{3} + 5$	通る
$A$	$y = \dfrac{4}{3}x$	通る

垂心の位置

三角形の形	垂心の位置
鋭角三角形	内側
直角三角形	直角の頂点そのもの
鈍角三角形	外側

この三角形は $3$ つの内角がすべて鋭角なので、 $H$ は内側にあります。

オイラー線

外心 $O$ 、重心 $G$ 、垂心 $H$ は一直線上に並びます¹。

点	座標
外心 $O$	$\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2}\right)$
重心 $G$	$\left(\dfrac{8}{3}, 3\right)$
垂心 $H$	$(3, 4)$

さらに $\overrightarrow{OH} = 3\,\overrightarrow{OG}$ が成り立ちます。この直線をオイラー線といいます。

グラフの $6$ 本の直線は $3$ 辺と $3$ 本の垂線で、大きな点は $3$ 頂点と垂心 $H(3, 4)$ です。

Euler line、Wikipedia