円錐の体積

円錐の体積が底面積 $\times$ 高さ $\times \dfrac{1}{3}$ になる理由は、積分で分かります¹。原点を通る直線 $y = \dfrac{x}{2}$ の $0 \leq x \leq 6$ を $x$ 軸のまわりに回します。

断面を足し上げる

できる立体は、底面の半径 $3$ 、高さ $6$ の円錐です。 $x$ のところで切った断面は半径 $\dfrac{x}{2}$ の円で、面積は $\pi \dfrac{x^2}{4}$ です。

V = \pi \int_0^6 \frac{x^2}{4}\,dx = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^6 = \frac{\pi}{4} \times 72 = 18\pi

公式で確かめると $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 9 \times 6 = 18\pi$ で一致します。

断面積が $x^2$ に比例して増えるので、積分すると $\dfrac{x^3}{3}$ になり、 $3$ で割った形が残ります。

立体	断面積	体積
円柱	一定	$\pi r^2 h$
円錐	$x^2$ に比例	$\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$

半径 $r$ 、高さ $h$ の円錐は $y = \dfrac{r}{h}x$ を $0$ から $h$ まで回した立体です。

V = \pi \int_0^h \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi r^2 h

公式そのものが出てきます。

断面が円でなく正方形でも、相似な図形の面積は長さの $2$ 乗に比例するので、断面積は $x^2$ の形になります。積分すれば同じ $\dfrac{1}{3}$ が現れます。錐の体積がどれも $\dfrac{1}{3}$ 倍になるのは、この $2$ 乗のためです。

$y = \sqrt{r^2 - x^2}$ を $-r$ から $r$ まで回します。

V = \pi \int_{-r}^{r} \left( r^2 - x^2 \right) dx = \frac{4}{3}\pi r^3

グラフの原点から広がる $2$ 本の直線が $y = \pm\dfrac{x}{2}$ で、回転させる前の輪郭を表します。大きな点は底面の縁です。