変曲点と凹凸

グラフの曲がる向きが変わる点を変曲点といいます¹。 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ で求めます。

$2$ 階の導関数

曲がる向きを決めるのは $2$ 階の導関数です。 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ をもう一度微分して $f''(x) = 6x - 12$ になります。

$f'' = 0$ となるのは $x = 2$ で、 $f(2) = 8 - 24 + 18 = 2$ なので変曲点は $(2, 2)$ です。

範囲	$f''$	凹凸
$x < 2$	負	上に凸（山のように曲がる）
$x > 2$	正	下に凸（谷のように曲がる）

$f''$ は $f'$ の増減を表します。 $f'' < 0$ の区間では接線の傾きが減っていき、 $f'' > 0$ の区間では増えていきます。変曲点は傾きの増減が入れ替わる点で、この関数では接線の傾きが最も小さくなる場所です。実際 $f'(2) = -3$ が $f'$ の最小値です。

$3$ 次関数は変曲点について点対称です。極大点 $(1, 4)$ と極小点 $(3, 0)$ の中点は $(2, 2)$ で、変曲点と一致します。 $3$ 次関数のグラフは、変曲点を中心に $180^\circ$ 回すと自分自身に重なります。

$f'' = 0$ は変曲点の候補にすぎません。 $f(x) = x^4$ では $f''(0) = 0$ ですが、前後で $f''$ の符号が変わらないので変曲点になりません。極値のときと同じく、符号の変化まで見ます。

関数の次数	$f''$ の次数	変曲点の個数
$3$ 次	$1$ 次	$1$ つ
$4$ 次	$2$ 次	$2$ つまで

凹凸の切り替わりが $1$ 点しかないのは、 $3$ 次関数の $f''$ が $1$ 次式だからです。

$f'(2) = -3$ より $y = -3(x - 2) + 2 = -3x + 8$ です。上に凸から下に凸へ変わる点なので、この接線は変曲点で曲線を横切ります。

極値が $f'$ の符号で決まるのに対し、凹凸は $f''$ の符号で決まります。

グラフの $3$ 次曲線が $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ 、直線が $y = f''(x) = 6x - 12$ で、大きな点が変曲点 $(2, 2)$ です。