y=arccot⁡xy = \operatorname{arccot} x

逆余接 y=arccot⁡xy = \operatorname{arccot} x

arccot⁡x\operatorname{arccot} x（逆余接）は、余接 cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} の逆関数です1。逆三角関数のなかで唯一、主値の取り方が二通りに割れている関数でもあります。ここでは値域を (0,π)(0, \pi) にとる流儀を採り、次の式で描いています。

arccot⁡x=π2−arctan⁡x\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x

定義域と値域

定義域は実数全体です。cot⁡\cot は区間 (0,π)(0, \pi) を実数全体へ単調に写すので、その逆関数はすべての実数を受けて (0,π)(0, \pi) の値を返します。arctan⁡\arctan の値域が (−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) ですから、π2\dfrac{\pi}{2} から引けばちょうど (0,π)(0, \pi) に収まります。

増減と漸近線

導関数は arctan⁡\arctan の導関数と符号だけが違います。

ddxarccot⁡x=−11+x2\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1+x^{2}}

つねに負ですから実数全体で単調に減少し、極値はありません。

xxarccot⁡x\operatorname{arccot} x
→−∞\to -\infty→π\to \pi
−1-13π4\dfrac{3\pi}{4}
00π2\dfrac{\pi}{2}
11π4\dfrac{\pi}{4}
→+∞\to +\infty→0\to 0

直線 y=πy = \pi と y=0y = 0 が水平漸近線です。

対称性と凹凸

点 (0,π2)\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) に関して点対称です。arctan⁡\arctan が原点に関して点対称であることを、上下反転して π2\dfrac{\pi}{2} だけ持ち上げた結果です。

二階導関数は 2x(1+x2)2\dfrac{2x}{(1+x^{2})^{2}} で符号は xx と同じですから、x<0x < 0 で上に凸、x>0x > 0 で下に凸となり、変曲点はこの対称の中心ただ一つです。

二つの流儀

流儀式値域連続性
主値を (0,π)(0, \pi) にとるπ2−arctan⁡x\dfrac{\pi}{2} - \arctan x(0,π)(0, \pi)実数全体で連続
逆数を通すarctan⁡1x\arctan\dfrac{1}{x}00 を除く (−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)原点で π\pi だけ跳ぶ

二つの定義は x>0x > 0 では一致し、x<0x < 0 ではちょうど π\pi だけ食い違います。多くの計算ソフトや数式処理系は後者を採っており、このサイトの数式エンジンもそうです。実際、数式欄に acot(x) と入力すると、この記事のグラフではなく原点で跳ぶほうの曲線が描かれます。

どちらを選ぶか

連続で単調な関数が欲しい場面、たとえば積分の原始関数として次のように書きたいときには (0,π)(0, \pi) の流儀が便利です。

∫dx1+x2=−arccot⁡x+C\int \frac{dx}{1+x^{2}} = -\operatorname{arccot} x + C

一方、他の逆三角関数と同じく逆数を通して定義したい場面や、arctan⁡\arctan から機械的に計算したい場面では arctan⁡1x\arctan\dfrac{1}{x} が扱いやすくなります。arccot⁡\operatorname{arccot} が出てきたら値域がどちらかを確かめるのが安全です。

逆三角関数の完成

これで六つの逆三角関数がすべてそろいました。三つの対がそれぞれ和で π2\dfrac{\pi}{2} を作るという、整った構造をもっています。

対関係式
arcsin⁡\arcsin と arccos⁡\arccosarcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}
arctan⁡\arctan と arccot⁡\operatorname{arccot}arctan⁡x+arccot⁡x=π2\arctan x + \operatorname{arccot} x = \dfrac{\pi}{2}
arcsec⁡\operatorname{arcsec} と arccsc⁡\operatorname{arccsc}arcsec⁡x+arccsc⁡x=π2\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \dfrac{\pi}{2}
  1. Inverse trigonometric functions、Wikipedia