三角関数の微分

$\sin$ を微分すると $\cos$ 、 $\cos$ を微分すると $-\sin$ になります¹。 $4$ 回微分すると元に戻ります。

\begin{align*} \left( \sin x \right)' &= \cos x \\ \left( \cos x \right)' &= -\sin x \end{align*}

グラフで確かめる

微分するたびに波が左へ $\dfrac{\pi}{2}$ ずれます。

$x$	$\sin x$	傾き	$\cos x$
$0$	$0$	$1$	$1$
$\dfrac{\pi}{2}$	$1$	$0$	$0$
$\pi$	$0$	$-1$	$-1$

$\sin$ が最大になる点で傾きが $0$ になることも、表から読み取れます。

$2$ 回微分すると符号が反転するので、次が成り立ちます。

y'' = -y

ばねの振動や振り子がこの式で書けるのは、 $\sin$ と $\cos$ がこの性質をもつからです。

証明には $\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h} = 1$ を使います。和と差の公式で変形します。

\sin(x + h) - \sin x = 2\cos\left( x + \frac{h}{2} \right)\sin\frac{h}{2}

$h$ で割ると $\dfrac{\sin(h/2)}{h/2} \to 1$ から $\cos x$ が残ります。

この極限は、角度をラジアンで測ったときにだけ $1$ になります。度で測ると $\dfrac{\pi}{180} \approx 0.01745$ になり、微分するたびにこの係数が掛かってしまいます。微分積分でラジアンを使うのは、この係数を消すためです。

$\tan x$ は商の微分から求まります。

\left( \tan x \right)' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}

常に正なので $\tan$ は各区間で単調に増加します。 $\cos x = 0$ の近くで傾きが際限なく大きくなることは、漸近線に張り付く形と合っています。

逆三角関数もここから出ます。 $y = \arcsin x$ を $\sin y = x$ と書いて両辺を微分すると $\cos y \cdot y' = 1$ 、 $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ より次のようになります。

\left( \arcsin x \right)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

グラフの原点を通る波が $y = \sin x$ 、その導関数が $y = \cos x$ 、さらに微分したものが $y = -\sin x$ で、大きな点は $(0, 0)$ 、 $(0, 1)$ 、 $\left( \dfrac{\pi}{2}, 0 \right)$ です。