y=x2−1y = \sqrt{x^2-1}

双曲線の上半分 y=x2−1y = \sqrt{x^2-1}

y=x2−1y = \sqrt{x^2 - 1} は、直角双曲線 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 の上半分です1。y=x2+1y = \sqrt{x^2+1} が一本につながった曲線であるのに対し、根号の中の符号が変わるだけで、左右に切り離された二つの枝になります。

定義域と値域

  • 定義域は x≤−1x \leq -1 または x≥1x \geq 1
  • 値域は y≥0y \geq 0
  • 偶関数
  • −1<x<1-1 < x < 1 には曲線がない
xxyy
±1\pm 100
±2\pm\sqrt{2}11
±2\pm 23\sqrt{3}

双曲線としての要素

下半分とあわせた x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 全体は xx 軸にも原点にも対称です。

要素値
頂点(±1,0)(\pm 1, 0)
焦点(±2,0)(\pm\sqrt{2}, 0)
離心率2\sqrt{2}
漸近線y=±xy = \pm x

漸近線

x2−1−x=−1x2−1+x\sqrt{x^2-1} - x = \dfrac{-1}{\sqrt{x^2-1} + x} は x→+∞x \to +\infty で 00 に近づくので、直線 y=xy = x が漸近線です。左の枝では y=−xy = -x が漸近線になります。この二本は直交しており、それがこの曲線を直角双曲線と呼ぶ理由です。

接線と凹凸

導関数は y′=xx2−1y' = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} で、x→1+x \to 1^{+} では +∞+\infty に発散します。つまり頂点での接線は垂直です。二階導関数は y′′=−1(x2−1)3/2y'' = -\dfrac{1}{(x^2-1)^{3/2}} でつねに負なので、どちらの枝も上に凸になります。

曲線定義域凹凸
y=x2+1y = \sqrt{x^2+1}すべての実数下に凸
y=x2−1y = \sqrt{x^2-1}∣x∣≥1|x| \geq 1上に凸

同じ漸近線をもちながら曲がる向きが反対になっています。

逆関数

x≥1x \geq 1 の枝で y=x2−1y = \sqrt{x^2-1} を xx について解くと x=y2+1x = \sqrt{y^2+1} です。つまりこの枝と、y=x2+1y = \sqrt{x^2+1} の x≥0x \geq 0 の部分は互いに逆関数であり、22 つのグラフは直線 y=xy = x に関して対称に重なります。

双曲線関数との関係

x=cosh⁡tx = \cosh t、y=sinh⁡ty = \sinh t とおくと cosh⁡2t−sinh⁡2t=1\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1 より、この点はつねに x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 の上にあります。右の枝は tt が実数全体を動くときの軌跡そのもので、上半分は t≥0t \geq 0 にあたります。双曲線関数という名は、まさにこの曲線を媒介変数表示することから来ています。

さらに、原点と (1,0)(1, 0) と (cosh⁡t,sinh⁡t)(\cosh t, \sinh t) が定める双曲線扇形の面積はちょうど t2\dfrac{t}{2} です。単位円で角 θ\theta が扇形の面積の 22 倍であることと、そのまま対応しています。

応用

二つの定点からの距離の差が一定である点の軌跡が双曲線です。

  • 二つの局からの電波の時間差で位置を求める双曲線航法2
  • 一定の固有加速度で運動する物体の世界線
  • xx 軸のまわりに回転させて得られる二葉双曲面
  1. Hyperbola、Wikipedia
  2. Hyperbolic navigation、Wikipedia