関数 $y = e^x - x$ のグラフ

$y = e^x - x$ は、指数関数から一次関数を引いた形です。この関数の最小値がちょうど $1$ であることが、指数関数をめぐるもっとも基本的な不等式 $e^x \geq x + 1$ そのものになっています。

定義域と増減

定義域はすべての実数です。導関数は次のようになります。

$e^x = 1$ すなわち $x = 0$ で $0$ になります。$x < 0$ では $e^x < 1$ より負、$x > 0$ では正ですから、$x = 0$ で極小かつ最小となり、値は $e^{0} - 0 = 1$ です。

値域と基本不等式

最小値が $1$ なので値域は $y \geq 1$ です。これを書き直すと、すべての実数 $x$ について次が成り立ちます。

等号は $x = 0$ のときに限ります。直線 $y = x + 1$ は曲線 $y = e^{x}$ の $x = 0$ における接線ですから、この不等式は、下に凸な曲線がその接線の上側にあることの一例です。$y = e^x - x$ のグラフは、その $2$ つの縦の差をとったものだと見ることもできます。

凹凸

二階導関数は $y'' = e^{x}$ でつねに正ですから、全域で下に凸であり変曲点はありません。この凸性こそが、上の接線不等式が成り立つ理由です。

漸近線

$x \to -\infty$ では $e^{x} \to 0$ なので $y$ は $-x$ に近づきます。実際 $y - (-x) = e^{x} \to 0$ ですから、直線 $y = -x$ が斜め漸近線です。いっぽう $x \to +\infty$ では $e^{x}$ が $x$ を圧倒して発散し、漸近線はありません。左では直線に貼りつき、右では指数的に跳ね上がるという、左右で非対称な形になります。

方程式の解の個数

$y \geq 1 > 0$ なので $x$ 切片はなく、方程式 $e^{x} = x$ は実数解をもちません。より一般に $e^{x} = x + c$ の解の個数は、水平線 $y = c$ とこのグラフの交点の個数として読めます。

導かれる不等式

$x$ のところに $\ln t$ を代入すると、対数についての不等式が出ます。

対数を一次式で上から押さえるこの形は、相加平均と相乗平均の関係や、情報理論のギブスの不等式など、多くの証明の出発点になります。$e^{x} \geq x + 1$ は、指数関数について最初に覚えるべき不等式だといえます。

通る点

$(0, 1)$、$(1, e - 1) \approx (1, 1.718)$、$(-1, e^{-1} + 1) \approx (-1, 1.368)$、$(2, e^{2} - 2) \approx (2, 5.389)$ などを通ります。